O movimento mensal de vendas de uma importadora é, atualmente, R , mas deverá estar diminuindo a uma taxa de
, mas deverá estar diminuindo a uma taxa de
reais por mês daqui a S^prime(t)=-10 t^2 / 5 meses. O negócio deixará de ser lucrativo se o movimento mensal cair abaixo de reais por mês daqui a .
b. Qual será o movimento de vendas daqui dois anos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento de vendas de uma importadora que atualmente é de R$ 10.000,00 por mês. Esse valor está diminuindo com o tempo, seguindo a taxa de reais por mês. A gente quer descobrir qual será o movimento de vendas daqui a dois anos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para encontrar a função que descreve o movimento das vendas ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a função R(t) = R(0) + integral0^t S'(tau) , dtau que representa o movimento de vendas em qualquer momento . Sabemos que a taxa de variação das vendas é dada por . Para encontrar , integramos em relação ao tempo.
A integral de é:
Onde reais.

Passo 3

Vamos calcular a integral:
integral0^t -10 tau^2/5 , dtau = -10 cdot tau^7/57/5 |0^t = -507 t^7/5
Então, a função R(t) = 10.000 - 507 t^7/5 fica:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o movimento de vendas daqui a dois anos. Como os dados estão em meses, dois anos correspondem a R(24) = 10.000 - 507 cdot 24^7/5 meses. Substituímos na função:

Passo 5

Vamos calcular 24^7/5 = (24^1/5)^7 approx 1,989^7 approx 57,49 :
R(24) = 10.000 - 507 cdot 57,49 approx 10.000 - 410,71 approx 9.589,29
Agora, substituímos esse valor na equação:

Resposta

O movimento de vendas daqui a dois anos será aproximadamente R$ 9.589,29.

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