Estima-se que a população de uma certa cidade será P(t) = t^2 + 200 t + 10000 daqui a t anos.
Daqui a 10 anos a população estará aumentando ou diminuindo? Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos resumir a questão: Temos uma função que estima a população de uma cidade daqui a t anos, dada por . Queremos saber se, daqui a 10 anos, a população estará aumentando ou diminuindo. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a entender como uma função está mudando em determinado ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função P(t) em relação ao tempo t. A derivada, denotada por , nos mostra a taxa de variação da população ao longo do tempo. Se a derivada for positiva, a população está aumentando; se for negativa, está diminuindo.
A função dada é:
Vamos derivar cada termo:
  • A derivada de t^2 é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de (uma constante) é 0.
Então, a derivada de P(t) é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor da derivada no momento anos:

Passo 4

Interpretando o resultado: significa que, daqui a 10 anos, a população está aumentando a uma taxa de 220 habitantes por ano.

Resposta

Daqui a 10 anos, a população estará aumentando.

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