Estima-se que a população de uma certa cidade será
daqui a
anos.
Daqui a 10 anos a população estará aumentando ou diminuindo? Justifique sua resposta.
Daqui a 10 anos a população estará aumentando ou diminuindo? Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos resumir a questão: Temos uma função que estima a população de uma cidade daqui a
anos, dada por
. Queremos saber se, daqui a 10 anos, a população estará aumentando ou diminuindo. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a entender como uma função está mudando em determinado ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
em relação ao tempo
. A derivada, denotada por
, nos mostra a taxa de variação da população ao longo do tempo. Se a derivada for positiva, a população está aumentando; se for negativa, está diminuindo.
A função dada é:
Vamos derivar cada termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
(uma constante) é .
Então, a derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor da derivada no momento
anos:
Passo 4
Interpretando o resultado:
significa que, daqui a 10 anos, a população está aumentando a uma taxa de 220 habitantes por ano.
Resposta
Daqui a 10 anos, a população estará aumentando.