A população de uma colônia de bactérias é dada por
milhōes de bactérias thoras após a introdução de uma toxina.
A que taxa a população está variando 1 hora após a toxina ser introduzida? A população está aumentando ou
diminuindo nessa ocasiāo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função que representa a população de bactérias, que é:
O conteúdo aqui envolve cálculo de derivadas para encontrar a taxa de variação da população. Vamos precisar derivar essa função em relação a e depois avaliar a derivada em para descobrir se a população está aumentando ou diminuindo nesse instante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a taxa de variação da população em qualquer instante , a gente precisa calcular a derivada de em relação a , ou seja, . A derivada nos dá a velocidade com que a população está mudando naquele momento.

Passo 3

A função é uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador dependem de . Para derivar uma função assim, a gente usa a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos , a derivada é:
Então, vamos identificar e na nossa função.

Passo 4

Na nossa função:
Agora, precisamos derivar e .

Passo 5

Vamos derivar :
E derivar :

Passo 6

Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 7

Vamos simplificar o numerador:
Então,

Passo 8

Agora, queremos saber a taxa de variação 1 hora após a introdução da toxina, ou seja, quando . Vamos substituir por 1 na derivada que encontramos:

Passo 9

O valor da derivada em é -5. Isso significa que a população está diminuindo a uma taxa de 5 milhões de bactérias por hora nesse momento.

Resposta

A taxa de variação da população 1 hora após a toxina ser introduzida é de milhões de bactérias por hora. Portanto, a população está diminuindo nesse instante.

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