A população de uma colônia de bactérias é dada por
milhōes de bactérias thoras após a introdução de uma toxina.
A que taxa a população está variando 1 hora após a toxina ser introduzida? A população está aumentando ou
diminuindo nessa ocasiāo?
A que taxa a população está variando 1 hora após a toxina ser introduzida? A população está aumentando ou
diminuindo nessa ocasiāo?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função que representa a população de bactérias, que é:
O conteúdo aqui envolve cálculo de derivadas para encontrar a taxa de variação da população. Vamos precisar derivar essa função em relação a
e depois avaliar a derivada em
para descobrir se a população está aumentando ou diminuindo nesse instante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a taxa de variação da população em qualquer instante
, a gente precisa calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
. A derivada nos dá a velocidade com que a população está mudando naquele momento.
Passo 3
A função
é uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador dependem de
. Para derivar uma função assim, a gente usa a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos
, a derivada é:
Então, vamos identificar
e
na nossa função.
Passo 4
Na nossa função:
Agora, precisamos derivar
e
.
Passo 5
Vamos derivar
:
E derivar
:
Passo 6
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 7
Vamos simplificar o numerador:
Então,
Passo 8
Agora, queremos saber a taxa de variação 1 hora após a introdução da toxina, ou seja, quando
. Vamos substituir
por 1 na derivada que encontramos:
Passo 9
O valor da derivada em
é -5. Isso significa que a população está diminuindo a uma taxa de 5 milhões de bactérias por hora nesse momento.
Resposta
A taxa de variação da população 1 hora após a toxina ser introduzida é de
milhões de bactérias por hora. Portanto, a população está diminuindo nesse instante.
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.
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.
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