Utilize a definição de limite para mostrar que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usarmos a definição de limite para mostrar que
. Aqui, estamos trabalhando com limites de funções, um conceito básico em cálculo. Precisamos lembrar o que é a definição de limite e como aplicá-la para provar que o limite não é igual a 5 quando
se aproxima de 2.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite. Dizemos que
se, para todo
, existe um
tal que, sempre que
, então
.
Neste caso, queremos mostrar que
. Isso significa que não existe um
que satisfaça a definição acima para a função
.
Passo 3
Vamos supor, para chegar a uma contradição, que
. Segundo a definição, para esse limite, deveria existir um
para qualquer
, de modo que
sempre que
.
Passo 4
Mas vamos ver o que acontece quando
se aproxima de 2. Se
, então
. Queremos que
esteja “perto” de 5, mas na verdade, ele está perto de 4. A diferença entre
e 5 é
. Quando
está muito próximo de 2, essa diferença se aproxima de
.
Passo 5
Então, se escolhermos
, por exemplo, precisaríamos que
. Mas isso significaria que
teria que estar entre
e
. No entanto, quando
está próximo de 2,
está próximo de 4, o que nunca alcança 4.5. Portanto, não conseguimos encontrar um
que satisfaça a definição para
.
Resposta
Assim, mostramos que
, já que não existe um
que faça
para
.