Utilize a definição de limite para mostrar que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usarmos a definição de limite para mostrar que . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções, um conceito básico em cálculo. Precisamos lembrar o que é a definição de limite e como aplicá-la para provar que o limite não é igual a 5 quando se aproxima de 2.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite. Dizemos que se, para todo , existe um tal que, sempre que , então .
Neste caso, queremos mostrar que . Isso significa que não existe um que satisfaça a definição acima para a função .

Passo 3

Vamos supor, para chegar a uma contradição, que . Segundo a definição, para esse limite, deveria existir um para qualquer , de modo que sempre que .

Passo 4

Mas vamos ver o que acontece quando se aproxima de 2. Se , então . Queremos que esteja “perto” de 5, mas na verdade, ele está perto de 4. A diferença entre e 5 é . Quando está muito próximo de 2, essa diferença se aproxima de .

Passo 5

Então, se escolhermos , por exemplo, precisaríamos que . Mas isso significaria que teria que estar entre e . No entanto, quando está próximo de 2, está próximo de 4, o que nunca alcança 4.5. Portanto, não conseguimos encontrar um que satisfaça a definição para .

Resposta

Assim, mostramos que , já que não existe um que faça para .

Exercícios relacionados

Considere a função
(e) Utilize o gráfico do item (a) para determinar se o existe e, caso ele exista, calcule-o.
Estime algebricamente o valor do limite usando os valores de fornecidos. Use uma calculadora.
0,5 0,1 0,0001 0,00001
Utilize a definição de limite para mostrar que .
Utilize a definição de limite para mostrar que .