Estime o comprimento de onda de de Broglie e a frequência associados a um elétron com massa me=9,11 times 10^-31 kg e:
(b) Energia igual a 1 GeV .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para estimarmos o comprimento de onda de de Broglie e a frequência associada a um elétron com massa me=9,11 times 10^-31 kg e energia igual a 1 GeV. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica e relativística, já que a energia envolvida é alta. Vamos calcular o comprimento de onda usando a fórmula de de Broglie e a frequência associada usando a relação entre energia e frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a energia de 1 GeV para joules, porque as unidades do Sistema Internacional (SI) são mais práticas para nossos cálculos. Sabemos que:
1, eV = 1,602 times 10^-19, J
Então,
1, GeV = 10^9, eV = 10^9 times 1,602 times 10^-19, J = 1,602 times 10^-10, J

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia total do elétron. Em física relativística, a energia total E está relacionada à massa m e ao momento p pela equação de Einstein:
E = raiz(pc)^2 + (me c^2)^2
Como a energia fornecida é muito maior que a energia de repouso do elétron ( me c^2 approx 0,511, MeV), podemos desprezar me c^2 na equação. Assim, simplificamos para:
E approx pc
Então, o momento p é aproximadamente:
p approx Ec

Passo 4

Com o momento p conhecido, podemos usar a fórmula de de Broglie para encontrar o comprimento de onda lambda:
lambda = hp
Onde h é a constante de Planck, h = 6,626 times 10^-34, J·s.
Substituindo p na equação:
lambda approx h cE

Passo 5

Vamos agora calcular lambda:
lambda approx 6,626 times 10^-34, J·s times 3,00 times 10^8, m/s1,602 times 10^-10, J
lambda approx 1,988 times 10^-25, J·m1,602 times 10^-10, J
lambda approx 1,24 times 10^-15, m

Passo 6

Agora, para encontrar a frequência f associada a essa onda de de Broglie, usamos a relação entre energia e frequência:
E = h f
Então,
f = Eh

Passo 7

Calculando f:
f = 1,602 times 10^-10, J6,626 times 10^-34, J·s
f approx 2,42 times 10^23, Hz

Resposta

O comprimento de onda de de Broglie do elétron é aproximadamente 1,24 times 10^-15, metros e a frequência associada é cerca de 2,42 times 10^23, Hz.

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