Estime o comprimento de onda de de Broglie e a frequência associados a um elétron com massa
e:
(b) Energia igual a 1 GeV .
(b) Energia igual a 1 GeV .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para estimarmos o comprimento de onda de de Broglie e a frequência associada a um elétron com massa
e energia igual a 1 GeV. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica e relativística, já que a energia envolvida é alta. Vamos calcular o comprimento de onda usando a fórmula de de Broglie e a frequência associada usando a relação entre energia e frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a energia de 1 GeV para joules, porque as unidades do Sistema Internacional (SI) são mais práticas para nossos cálculos. Sabemos que:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia total do elétron. Em física relativística, a energia total
está relacionada à massa
e ao momento
pela equação de Einstein:
Como a energia fornecida é muito maior que a energia de repouso do elétron (
), podemos desprezar
na equação. Assim, simplificamos para:
Então, o momento
é aproximadamente:
Passo 4
Com o momento
conhecido, podemos usar a fórmula de de Broglie para encontrar o comprimento de onda
:
Onde
é a constante de Planck,
.
Substituindo
na equação:
Passo 5
Vamos agora calcular
:
Passo 6
Agora, para encontrar a frequência
associada a essa onda de de Broglie, usamos a relação entre energia e frequência:
Então,
Passo 7
Calculando
:
Resposta
O comprimento de onda de de Broglie do elétron é aproximadamente
e a frequência associada é cerca de
.