A partir da lei de Planck (em função da frequência) e da lei de Stefan, mostre que
k^4h^3 simeq 1,25 times 10^8 J cdot s^-3 cdot K^-4
onde k é a constante de Boltzmann e h é a constante de Planck.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente, usando a Lei de Planck em função da frequência e a Lei de Stefan, mostrar que . Aqui, é a constante de Boltzmann e é a constante de Planck. Vamos precisar entender como essas leis se relacionam e como os constantes aparecem nelas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que cada lei diz. A Lei de Planck nos dá a distribuição da radiação emitida por um corpo negro em função da frequência ( B(nu, T) = 2hnu^3c^2 1e^hnukT - 1 ):
j^star = sigma T^4
onde:
  • é a radiância espectral,
  • é a constante de Planck,
  • é a velocidade da luz,
  • é a constante de Boltzmann,
  • é a temperatura.
Já a Lei de Stefan-Boltzmann relaciona a potência total emitida por unidade de área de um corpo negro com a quarta potência da sua temperatura:
onde é a constante de Stefan-Boltzmann.

Passo 3

Para conectar essas duas leis, precisamos integrar a Lei de Planck sobre todas as frequências para obter a potência total emitida por unidade de área, que deve ser igual a integral0^infty B(nu, T) , dnu = sigma T^4 . Ou seja:
Fazendo essa integração, obtemos uma expressão para em termos de constantes fundamentais , e .

Passo 4

Após a integração, a constante de Stefan-Boltzmann sigma = 2pi^5k^415c^2h^3 pode ser expressa como:
k^4h^3 = 15c^2sigma2pi^5
Agora, queremos isolar o termo :

Passo 5

Vamos agora inserir os valores conhecidos das constantes:
  • Velocidade da luz, k^4h^3 = 15 times (3 times 10^8)^2 times 5,67 times 10^-82 times (3,1416)^5 ,
  • Constante de Stefan-Boltzmann, ,
  • .
Substituindo esses valores na equação:

Passo 6

Calculando os termos numéricos:
k^4h^3 simeq 15 times 9 times 10^16 times 5,67 times 10^-82 times 306,0197 simeq 1,25 times 10^8 , J cdot s^-3 cdot K^-4

Resposta

Assim, mostramos que .

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