A partir da lei de Planck (em função da frequência) e da lei de Stefan, mostre que
onde
é a constante de Boltzmann e
é a constante de Planck.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente, usando a Lei de Planck em função da frequência e a Lei de Stefan, mostrar que
. Aqui,
é a constante de Boltzmann e
é a constante de Planck. Vamos precisar entender como essas leis se relacionam e como os constantes aparecem nelas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que cada lei diz. A Lei de Planck nos dá a distribuição da radiação emitida por um corpo negro em função da frequência (
):
onde:
-
é a radiância espectral, -
é a constante de Planck, -
é a velocidade da luz, -
é a constante de Boltzmann, -
é a temperatura.
Já a Lei de Stefan-Boltzmann relaciona a potência total emitida por unidade de área de um corpo negro com a quarta potência da sua temperatura:
onde
é a constante de Stefan-Boltzmann.
Passo 3
Para conectar essas duas leis, precisamos integrar a Lei de Planck sobre todas as frequências para obter a potência total emitida por unidade de área, que deve ser igual a
. Ou seja:
Fazendo essa integração, obtemos uma expressão para
em termos de constantes fundamentais
,
e
.
Passo 4
Após a integração, a constante de Stefan-Boltzmann
pode ser expressa como:
Agora, queremos isolar o termo
:
Passo 5
Vamos agora inserir os valores conhecidos das constantes:
- Velocidade da luz,
, - Constante de Stefan-Boltzmann,
, -
.
Substituindo esses valores na equação:
Passo 6
Calculando os termos numéricos:
Resposta
Assim, mostramos que
.