Estime o erro que se comete quando
é substituído por
, se
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estimar o erro que acontece quando a gente aproxima
por
, sabendo que
. A gente vai usar conhecimentos de séries de Taylor e cálculo de erros para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função
pode ser aproximada por uma série de Taylor em torno de 0. Essa série é uma soma de termos que envolve potências de
. A aproximação
é na verdade os dois primeiros termos dessa série.
Passo 3
A série completa de Taylor para
é:
Ao truncar após o termo
, a gente ignora os termos seguintes, que são responsáveis pelo erro na aproximação.
Passo 4
Para estimar o erro, podemos usar o termo seguinte da série de Taylor. No nosso caso, o próximo termo é
(porque
). Esse termo nos dá uma ideia de quanto a aproximação
difere de
.
Passo 5
Como estamos considerando
, podemos calcular o valor máximo do erro substituindo
por 0,1:
Resposta
O erro ao aproximar
por
, para
, é no máximo aproximadamente
.