Estime o erro que se comete quando cos(x) é substituído por 1 - x^2 / 2, se |x| < 0.1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estimar o erro que acontece quando a gente aproxima por , sabendo que . A gente vai usar conhecimentos de séries de Taylor e cálculo de erros para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função pode ser aproximada por uma série de Taylor em torno de 0. Essa série é uma soma de termos que envolve potências de x. A aproximação é na verdade os dois primeiros termos dessa série.

Passo 3

A série completa de Taylor para é:
Ao truncar após o termo , a gente ignora os termos seguintes, que são responsáveis pelo erro na aproximação.

Passo 4

Para estimar o erro, podemos usar o termo seguinte da série de Taylor. No nosso caso, o próximo termo é (porque ). Esse termo nos dá uma ideia de quanto a aproximação difere de .

Passo 5

Como estamos considerando , podemos calcular o valor máximo do erro substituindo x por 0,1:

Resposta

O erro ao aproximar por , para , é no máximo aproximadamente .

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