(1,5 ponto) Se lim x 0 f(x)x=18, determine o valor de k para que lim x 0 f(k x)4 x=72.
a) 17 궁 16
c) 20
d) 21
e) 22 .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas expressões envolvendo limites e uma constante que precisamos descobrir. O conteúdo aqui envolve cálculo de limites, especificamente limites de funções quando se aproxima de zero. Vamos precisar usar propriedades de limites e fazer uma substituição estratégica para encontrar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o primeiro limite dado:
limx 0 f(x)x = 18
Isso significa que, quando se aproxima de zero, a função se comporta como .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o segundo limite que queremos encontrar:
limx 0 f(kx)4x = 72
Nosso objetivo aqui é descobrir o valor de que satisfaz essa equação.

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos chamar limt 0 f(t)4 cdot tk = limt 0 f(t)4tk = limt 0 k4 cdot f(t)t . Quando se aproxima de zero, também se aproxima de zero. Então, podemos reescrever o limite como:

Passo 5

Sabemos pelo primeiro limite que:
limt 0 f(t)t = 18
Substituindo isso na expressão anterior:
k4 cdot 18 = 72

Passo 6

Agora, vamos resolver para 18k4 = 72 18k4 = 72 9k2 = 72 9k = 144 k = 1449 k = 16 :

Resposta

O valor de é 16.

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