(a) Estime a frequência de colisões que as moléculas de um gás realizam em uma pressão de 1,0 atm e 25^circ C e, também,
(b) o livre caminho médio que estas moléculas percorrem entre duas colisões.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para estimar duas coisas sobre as moléculas de um gás: (a) a frequência com que elas colidem quando o gás está a uma pressão de e , e (b) o livre caminho médio, que é a distância que uma molécula percorre entre duas colisões. Para resolver isso, vamos usar a Teoria Cinética dos Gases, que nos ajuda a entender o comportamento das moléculas de gás em termos de movimento e colisões.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a frequência de colisões das moléculas. Para isso, precisamos saber algumas coisas:
  1. Número de moléculas por unidade de volume ( PV = NkB T ): Podemos calcular isso usando a equação dos gases ideais.
  2. Velocidade média das moléculas ( n = PkB T = 1,013 times 10^51,38 times 10^-23 times 298 approx 2,47 times 10^25 moléculas/m^3 ): Depende da temperatura e da massa das moléculas.
  3. Diâmetro efetivo das moléculas ( ): Geralmente, assumimos um valor típico para um gás como o ar.
Vamos começar calculando :
A equação dos gases ideais é:
Onde:
  • é a pressão ( ),
  • é o volume,
  • é o número de moléculas,
  • é a constante de Boltzmann ( ),
  • é a temperatura em Kelvin ( ).
Rearranjando para encontrar :
é

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade média ( v = raiz8 kB Tpi m ) das moléculas. Usamos a fórmula:
m = 29 times 10^-36,022 times 10^23 approx 4,82 times 10^-26 kg
Onde v = raiz8 times 1,38 times 10^-23 times 298pi times 4,82 times 10^-26 approx 517 m/s é a massa de uma molécula. Para simplificar, vamos considerar que estamos lidando com moléculas de ar, cuja massa molar é aproximadamente . A massa de uma molécula é:
Substituindo na fórmula da velocidade média:

Passo 4

Com Z = raiz2 pi d^2 n v e Z = raiz2 times pi times (3,7 times 10^-10)^2 times 2,47 times 10^25 times 517 approx 3,2 times 10^10 colisões/s prontos, podemos calcular a frequência de colisões ( ) usando:
Assumindo um diâmetro efetivo das moléculas de :
õ

Passo 5

Agora, vamos calcular o livre caminho médio ( lambda = 1raiz2 pi d^2 n ), que é a distância que uma molécula percorre em média antes de colidir novamente. A fórmula é:
lambda = 1raiz2 times pi times (3,7 times 10^-10)^2 times 2,47 times 10^25 approx 6,1 times 10^-8 m = 0,061 µm
Substituindo os valores:
µ

Resposta

(a) A frequência de colisões das moléculas do gás é aproximadamente õ.
(b) O livre caminho médio entre duas colisões é cerca de µ.

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