Estime a reta de regressão Yi=beta0+beta1 xi+ei. Usando
b. O método da matriz inversa, obtida via Gauss-Jordan widehatbeta=(X^top X)^-1 X^top Y.
PS: Apresente todas as derivadas como em calculado em sala de aula. Lembre que
widehatbeta=[dotwidehatbetawidehatbeta1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de regressão linear do tipo . O objetivo aqui é estimar os coeficientes (intercepto) e (inclinação) usando o método da matriz inversa, que a gente calcula com o método de Gauss-Jordan. Para isso, vamos precisar entender um pouco de álgebra linear, especialmente sobre matrizes e como multiplicar e inverter matrizes.

Passo 2

Primeiro, precisamos montar a matriz X = 1 & x1 1 & x2 vdots & vdots 1 & xn dos nossos dados. Essa matriz inclui uma coluna de 1’s para o intercepto Y = Y1 Y2 vdots Yn e uma coluna com os valores de .
E o vetor com os valores de saída:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto transposto de X^top = 1 & 1 & cdots & 1 x1 & x2 & cdots & xn por X^top X = n & sumi=1^n xi sumi=1^n xi & sumi=1^n xi^2 , ou seja, . A transposta de , , é:
Multiplicando por :
Aqui, é o número de dados que temos.

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular a inversa de (X^top X)^-1 = 1n sum xi^2 - (sum xi)^2 sum xi^2 & -sum xi -sum xi & n , ou seja, . A inversa de uma matriz como essa é dada por:
Esse cálculo envolve o determinante da matriz e os adjuntos, que é o básico do método de Gauss-Jordan para inversão de matrizes.

Passo 5

Agora, vamos calcular X^top Y = sum Yi sum xi Yi :
Aqui, estamos somando todos os valores de e também o produto de cada pelo correspondente .

Passo 6

Finalmente, para encontrar os estimadores dos coeficientes widehatbeta = (X^top X)^-1 X^top Y , multiplicamos a inversa de widehatbeta0 widehatbeta1 = 1n sum xi^2 - (sum xi)^2 sum xi^2 & -sum xi -sum xi & n sum Yi sum xi Yi por widehatbeta0 = sum xi^2 sum Yi - sum xi sum xi Yin sum xi^2 - (sum xi)^2 :
widehatbeta1 = n sum xi Yi - sum xi sum Yin sum xi^2 - (sum xi)^2
Fazendo a multiplicação das matrizes, obtemos:
Simplificando as multiplicações:

Resposta

Então, os estimadores para os coeficientes da reta de regressão são:
widehatbeta0 = sum xi^2 sum Yi - sum xi sum xi Yin sum xi^2 - (sum xi)^2
widehatbeta1 = n sum xi Yi - sum xi sum Yin sum xi^2 - (sum xi)^2
Essas fórmulas nos dão os melhores estimadores lineares para o intercepto e a inclinação da nossa reta de regressão usando o método da matriz inversa via Gauss-Jordan.

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