Sendo f, g e h operadores lineares, de R^2 em R^2, definidos por f(x, y)=(x, 2 y), g(x, y)=(y, x+y) e h(x, y)=(0, x), determine f+g, f circ g, g circ(h+f), g circ f, h circ f, h circ f circ g e g circ f circ h.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! O enunciado nos dá três operadores lineares , e que transformam vetores no plano . Nosso objetivo é calcular algumas combinações desses operadores, como , (ou seja, seguido de ), e outras composições. Para isso, vamos precisar entender como somar operadores lineares e como compor esses operadores, ou seja, aplicar um depois do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular (f + g)(x, y) = f(x, y) + g(x, y) = (x, 2y) + (y, x + y) = (x + y, 2y + x + y) . Quando somamos dois operadores lineares, simplesmente somamos as imagens de cada operador para um mesmo vetor de entrada. Então, se temos (f + g)(x, y) = (x + y, x + 3y) e , a soma será:
Simplificando isso:

Passo 3

Agora vamos calcular a composição g(x, y) = (y, x + y) , que significa aplicar f(g(x, y)) = f(y, x + y) = (y, 2(x + y)) = (y, 2x + 2y) primeiro e depois (f circ g)(x, y) = (y, 2x + 2y) no resultado. Ou seja, para um vetor :
Primeiro aplicamos :
Depois aplicamos no resultado de :
Então:

Passo 4

Vamos agora calcular (h + f)(x, y) = h(x, y) + f(x, y) = (0, x) + (x, 2y) = (x, x + 2y) . Primeiro, precisamos somar g(x, x + 2y) = (x + 2y, x + (x + 2y)) = (x + 2y, 2x + 2y) e (g circ (h + f))(x, y) = (x + 2y, 2x + 2y) . O operador é definido por e , então:
Agora, aplicamos no resultado:
Portanto:

Passo 5

Vamos calcular f(x, y) = (x, 2y) . Primeiro aplicamos g(x, 2y) = (2y, x + 2y) e depois (g circ f)(x, y) = (2y, x + 2y) :
Depois:
Então:

Passo 6

Agora, vamos ver f(x, y) = (x, 2y) . Primeiro aplicamos h(x, 2y) = (0, x) :
(h circ f)(x, y) = (0, x)
Depois aplicamos no resultado:
Portanto:

Passo 7

Vamos calcular g(x, y) = (y, x + y) . Isso significa aplicar f(y, x + y) = (y, 2(x + y)) = (y, 2x + 2y) , depois h(y, 2x + 2y) = (0, y) , e depois (h circ f circ g)(x, y) = (0, y) :
Primeiro, aplicamos :
Depois, aplicamos :
Finalmente, aplicamos :
Então:

Passo 8

Por último, vamos calcular h(x, y) = (0, x) . Isso significa aplicar f(0, x) = (0, 2x) , depois g(0, 2x) = (2x, 0 + 2x) = (2x, 2x) , e depois (g circ f circ h)(x, y) = (2x, 2x) :
Primeiro, aplicamos :
Depois, aplicamos :
Finalmente, aplicamos :
Portanto:

Resposta

As composições dos operadores lineares são:
f + g &= (x + y, x + 3y), f circ g &= (y, 2x + 2y), g circ (h + f) &= (x + 2y, 2x + 2y), g circ f &= (2y, x + 2y), h circ f &= (0, x), h circ f circ g &= (0, y), g circ f circ h &= (2x, 2x)

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