Sendo
e
operadores lineares, de
, definidos por
,
e
, determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! O enunciado nos dá três operadores lineares
,
e
que transformam vetores no plano
. Nosso objetivo é calcular algumas combinações desses operadores, como
,
(ou seja,
seguido de
), e outras composições. Para isso, vamos precisar entender como somar operadores lineares e como compor esses operadores, ou seja, aplicar um depois do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Quando somamos dois operadores lineares, simplesmente somamos as imagens de cada operador para um mesmo vetor de entrada. Então, se temos
e
, a soma
será:
Simplificando isso:
Passo 3
Agora vamos calcular a composição
, que significa aplicar
primeiro e depois
no resultado. Ou seja, para um vetor
:
Primeiro aplicamos
:
Depois aplicamos
no resultado de
:
Então:
Passo 4
Vamos agora calcular
. Primeiro, precisamos somar
e
. O operador
é definido por
e
, então:
Agora, aplicamos
no resultado:
Portanto:
Passo 5
Vamos calcular
. Primeiro aplicamos
e depois
:
Depois:
Então:
Passo 6
Agora, vamos ver
. Primeiro aplicamos
:
Depois aplicamos
no resultado:
Portanto:
Passo 7
Vamos calcular
. Isso significa aplicar
, depois
, e depois
:
Primeiro, aplicamos
:
Depois, aplicamos
:
Finalmente, aplicamos
:
Então:
Passo 8
Por último, vamos calcular
. Isso significa aplicar
, depois
, e depois
:
Primeiro, aplicamos
:
Depois, aplicamos
:
Finalmente, aplicamos
:
Portanto:
Resposta
As composições dos operadores lineares são: