Estime a separação angular de dois objetos no planeta Marte que mal podem ser resolvidos em condições iniciais por um observador na Terra (a) a olho nu e (b) usando um telescópio de 200 polegadas ( =5,1 m ) de monte Palomar. Use os seguintes dados: distância entre Marte e Terra =8,0 times 10^7 km; diâmetro da pupila =5,0 mm; comprimento de onda da luz =550 nm.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a separação angular mínima que dois objetos em Marte precisam ter para que um observador na Terra consiga diferenciá-los (a) a olho nu e (b) usando um telescópio de 200 polegadas (5,1 m) do Monte Palomar. Para isso, vamos usar conceitos de resolução angular e a fórmula de Rayleigh. Precisamos dos seguintes dados:
  • Distância entre Marte e Terra: km
  • Diâmetro da pupila do olho: 5,0 mm
  • Comprimento de onda da luz: 550 nm
  • Diâmetro do telescópio: 5,1 m

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é resolução angular. Ela indica a menor separação angular entre dois objetos que permite que eles sejam distinguidos como entidades separadas. Quanto menor essa separação, melhor a capacidade de observação.
Para calcular a resolução angular, usamos a fórmula de Rayleigh:
theta = 1,22 times lambdaD
Onde:
  • é a resolução angular em radianos.
  • é o comprimento de onda da luz.
  • é o diâmetro da abertura do instrumento (pupila do olho ou diâmetro do telescópio).

Passo 3

Vamos calcular a separação angular para a pupila do olho nu. Primeiro, precisamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI):
  • Comprimento de onda ( theta = 1,22 times 550 times 10^-9 m5,0 times 10^-3 m = 1,22 times 1,10 times 10^-4 approx 1,34 times 10^-4 radianos ): 550 nm = s = theta times L = 1,34 times 10^-4 rad times 8,0 times 10^10 m = 1,07 times 10^7 m m
  • Diâmetro da pupila ( ): 5,0 mm = m
Agora, aplicamos a fórmula de Rayleigh:
Para facilitar a interpretação, vamos converter radianos para milímetros na superfície de Marte. Sabemos que a distância entre a Terra e Marte é km = m.
A distância linear ( ) correspondente à separação angular pode ser calculada por:
Isso significa que, a olho nu, dois objetos em Marte precisam estar separados por aproximadamente metros para serem distinguidos.

Passo 4

Agora, vamos calcular a separação angular usando o telescópio de 200 polegadas (5,1 m). Mantemos o mesmo comprimento de onda ( theta = 1,22 times 550 times 10^-9 m5,1 m = 1,22 times 1,08 times 10^-7 approx 1,32 times 10^-7 radianos m) e aplicamos a fórmula de Rayleigh com o diâmetro do telescópio:
s = theta times L = 1,32 times 10^-7 rad times 8,0 times 10^10 m = 1,06 times 10^4 m
Convertendo novamente para a distância linear em Marte:
Então, com o telescópio, dois objetos em Marte precisam estar separados por cerca de metros para serem distinguíveis.

Resposta

(a) A olho nu, a separação angular mínima que permite distinguir dois objetos em Marte é aproximadamente metros.
(b) Usando um telescópio de 200 polegadas (5,1 m) do Monte Palomar, a separação angular mínima é cerca de metros.

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