Estime a separação angular de dois objetos no planeta Marte que mal podem ser resolvidos em condições iniciais por um observador na Terra (a) a olho nu e (b) usando um telescópio de 200 polegadas (
) de monte Palomar. Use os seguintes dados: distância entre Marte e Terra
; diâmetro da pupila
; comprimento de onda da luz
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a separação angular mínima que dois objetos em Marte precisam ter para que um observador na Terra consiga diferenciá-los (a) a olho nu e (b) usando um telescópio de 200 polegadas (5,1 m) do Monte Palomar. Para isso, vamos usar conceitos de resolução angular e a fórmula de Rayleigh. Precisamos dos seguintes dados:
- Distância entre Marte e Terra:
km - Diâmetro da pupila do olho: 5,0 mm
- Comprimento de onda da luz: 550 nm
- Diâmetro do telescópio: 5,1 m
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é resolução angular. Ela indica a menor separação angular entre dois objetos que permite que eles sejam distinguidos como entidades separadas. Quanto menor essa separação, melhor a capacidade de observação.
Para calcular a resolução angular, usamos a fórmula de Rayleigh:
Onde:
-
é a resolução angular em radianos. -
é o comprimento de onda da luz. -
é o diâmetro da abertura do instrumento (pupila do olho ou diâmetro do telescópio).
Passo 3
Vamos calcular a separação angular para a pupila do olho nu. Primeiro, precisamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI):
- Comprimento de onda (
): 550 nm = m - Diâmetro da pupila (
): 5,0 mm = m
Agora, aplicamos a fórmula de Rayleigh:
Para facilitar a interpretação, vamos converter radianos para milímetros na superfície de Marte. Sabemos que a distância entre a Terra e Marte é
km =
m.
A distância linear (
) correspondente à separação angular pode ser calculada por:
Isso significa que, a olho nu, dois objetos em Marte precisam estar separados por aproximadamente
metros para serem distinguidos.
Passo 4
Agora, vamos calcular a separação angular usando o telescópio de 200 polegadas (5,1 m). Mantemos o mesmo comprimento de onda (
m) e aplicamos a fórmula de Rayleigh com o diâmetro do telescópio:
Convertendo novamente para a distância linear em Marte:
Então, com o telescópio, dois objetos em Marte precisam estar separados por cerca de
metros para serem distinguíveis.
Resposta
(a) A olho nu, a separação angular mínima que permite distinguir dois objetos em Marte é aproximadamente
metros.
(b) Usando um telescópio de 200 polegadas (5,1 m) do Monte Palomar, a separação angular mínima é cerca de
metros.
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.
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b) Normalize
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