a) Mostre que
.
b) Normalize
e mostre que
.
c) Mostre que a probabilidade de que a partícula seja encontrada no intervalo
é 0,52 .
b) Normalize
c) Mostre que a probabilidade de que a partícula seja encontrada no intervalo
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função de onda
e precisamos fazer três coisas:
a) Mostrar que .
b) Normalizar e descobrir que
.
c) Calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo , que deve ser 0,52.
a) Mostrar que
b) Normalizar
c) Calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como módulo de uma função complexa, normalização de funções de onda e cálculo de probabilidades através de integrais. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte a). A função
pode ser complexa, mas para calcular
, que é a probabilidade de densidade, precisamos encontrar o módulo ao quadrado dessa função. Se
, então:
Aqui,
é o conjugado complexo de
. Vamos calcular isso.
Passo 3
Calculando o conjugado complexo de
:
Agora, multiplicamos
por
:
Passo 4
Vamos simplificar o numerador
. Lembrando que
:
Então, substituindo de volta:
Isso confirma a parte a) do exercício.
Passo 5
Agora, vamos para a parte b), que é normalizar
. Normalizar significa ajustar a constante
de forma que a integral de
sobre todo o espaço seja igual a 1:
Substituindo
que já encontramos:
Passo 6
Para resolver essa integral, podemos simplificar a expressão dentro da integral:
Depois de realizar a integração, descobrimos que:
Então, substituindo de volta na equação de normalização:
Isso confirma a parte b) do exercício.
Passo 7
Finalmente, vamos para a parte c), onde precisamos encontrar a probabilidade de a partícula estar no intervalo
. Isso é dado por:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Resolvendo essa integral, encontramos que:
Isso significa que há aproximadamente 52% de chance de encontrar a partícula no intervalo de 0 a 1.
Resposta
a)
b)
c) A probabilidade de encontrar a partícula no intervalo
é aproximadamente 0,52.
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