a) Mostre que .
b) Normalize e mostre que .
c) Mostre que a probabilidade de que a partícula seja encontrada no intervalo é 0,52 .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função de onda e precisamos fazer três coisas:
a) Mostrar que .
b) Normalizar e descobrir que .
c) Calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo , que deve ser 0,52.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como módulo de uma função complexa, normalização de funções de onda e cálculo de probabilidades através de integrais. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte a). A função pode ser complexa, mas para calcular , que é a probabilidade de densidade, precisamos encontrar o módulo ao quadrado dessa função. Se , então:
Aqui, é o conjugado complexo de . Vamos calcular isso.

Passo 3

Calculando o conjugado complexo de :
Agora, multiplicamos por :

Passo 4

Vamos simplificar o numerador . Lembrando que :
Então, substituindo de volta:
Isso confirma a parte a) do exercício.

Passo 5

Agora, vamos para a parte b), que é normalizar . Normalizar significa ajustar a constante de forma que a integral de sobre todo o espaço seja igual a 1:
Substituindo que já encontramos:

Passo 6

Para resolver essa integral, podemos simplificar a expressão dentro da integral:
Depois de realizar a integração, descobrimos que:
Então, substituindo de volta na equação de normalização:
Isso confirma a parte b) do exercício.

Passo 7

Finalmente, vamos para a parte c), onde precisamos encontrar a probabilidade de a partícula estar no intervalo . Isso é dado por:
Sabemos que , então:

Passo 8

Resolvendo essa integral, encontramos que:
Isso significa que há aproximadamente 52% de chance de encontrar a partícula no intervalo de 0 a 1.

Resposta

a)
b)
c) A probabilidade de encontrar a partícula no intervalo é aproximadamente 0,52.

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$$
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