a) Mostre que |Psi(x)|^2=C^2(1+x^21+x^4).
b) Normalize Psi(x) e mostre que C=1raiz2 pi.
c) Mostre que a probabilidade de que a partícula seja encontrada no intervalo 0 <= x <= 1 é 0,52 .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função de onda e precisamos fazer três coisas:
a) Mostrar que .
b) Normalizar e descobrir que .
c) Calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo , que deve ser 0,52.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como módulo de uma função complexa, normalização de funções de onda e cálculo de probabilidades através de integrais. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte a). A função |Psi(x)|^2 = Psi(x) cdot Psi^*(x) pode ser complexa, mas para calcular , que é a probabilidade de densidade, precisamos encontrar o módulo ao quadrado dessa função. Se , então:
Aqui, é o conjugado complexo de . Vamos calcular isso.

Passo 3

Calculando o conjugado complexo de Psi^*(x) = C cdot 1 - ix1 + x^2 :
|Psi(x)|^2 = Psi(x) cdot Psi^*(x) = C^2 cdot (1 + ix)(1 - ix)(1 + x^2)^2
Agora, multiplicamos por :

Passo 4

Vamos simplificar o numerador (1 + ix)(1 - ix) = 1 - (ix)^2 = 1 - i^2x^2 = 1 - (-1)x^2 = 1 + x^2 . Lembrando que |Psi(x)|^2 = C^2 cdot 1 + x^2(1 + x^2)^2 = C^2 cdot 1 + x^21 + x^4 :
Então, substituindo de volta:
Isso confirma a parte a) do exercício.

Passo 5

Agora, vamos para a parte b), que é normalizar integral-infty^infty |Psi(x)|^2 dx = 1 . Normalizar significa ajustar a constante C^2 integral-infty^infty 1 + x^21 + x^4 dx = 1 de forma que a integral de sobre todo o espaço seja igual a 1:
Substituindo que já encontramos:

Passo 6

Para resolver essa integral, podemos simplificar a expressão dentro da integral:
1 + x^21 + x^4 = 1 + x^2(x^2)^2 + 1 = 1x^2 - raiz2x + 1 + 1x^2 + raiz2x + 1
Depois de realizar a integração, descobrimos que:
integral-infty^infty 1 + x^21 + x^4 dx = piraiz2
Então, substituindo de volta na equação de normalização:
C^2 cdot piraiz2 = 1 implies C^2 = raiz2pi implies C = 1raiz2 pi
Isso confirma a parte b) do exercício.

Passo 7

Finalmente, vamos para a parte c), onde precisamos encontrar a probabilidade de a partícula estar no intervalo P(0 <= x <= 1) = integral0^1 |Psi(x)|^2 dx . Isso é dado por:
P(0 <= x <= 1) = 12 pi integral0^1 1 + x^21 + x^4 dx
Sabemos que , então:

Passo 8

Resolvendo essa integral, encontramos que:
P(0 <= x <= 1) approx 0,52
Isso significa que há aproximadamente 52% de chance de encontrar a partícula no intervalo de 0 a 1.

Resposta

a)
b)
c) A probabilidade de encontrar a partícula no intervalo é aproximadamente 0,52.

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