Estime, sob condições ideais, a separação linear de dois objetos, na superfície do planeta Marte que possam ser resolvidos por um observador na Terra usando (a) a vista desarmada e (b) o telescópio de 5,1 m do Monte Palomar. Use os seguintes dados: distância a Marte =8,0 times 10^7 km; diâmetro da pupila =5,0 mm; comprimento de onda da luz =500 nm. Qual é a separação linear usando o telescópio?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para estimar a separação linear de dois objetos na superfície de Marte que podem ser resolvidos por um observador na Terra. Vamos focar na parte (b), que envolve o uso de um telescópio de 5,1 metros do Monte Palomar. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de óptica, como resolução angular e como ela se relaciona com a separação linear. Então, vamos precisar dos seguintes dados:
  • Distância até Marte: km
  • Diâmetro da pupila do telescópio:
  • Comprimento de onda da luz:
  • Diâmetro do telescópio:

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos.
  • Distância até Marte: km = metros
  • Diâmetro da pupila: = metros
  • Comprimento de onda: = metros
  • Diâmetro do telescópio: (já está em metros)

Passo 3

Vamos usar a fórmula da resolução angular de um telescópio, que nos diz o menor ângulo theta = 1,22 times lambdaD que o telescópio pode resolver:
Onde:
  • é a resolução angular em radianos
  • é o comprimento de onda da luz
  • é o diâmetro do telescópio
Essa fórmula vem do fato de que a resolução de um telescópio é limitada pelo fenômeno de difração da luz.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
theta = 1,22 times 500 times 10^-9 m5,1 m = 1,22 times 500 times 10^-95,1 approx 1,22 times 98 times 10^-9 approx 1,1976 times 10^-5 radianos

Passo 5

Agora que temos a resolução angular, podemos encontrar a separação linear S = theta times L dos objetos na superfície de Marte usando a relação:
Onde:
  • é a separação linear
  • é a resolução angular
  • é a distância até Marte

Passo 6

Substituindo os valores:
S = 1,1976 times 10^-5 rad times 8,0 times 10^10 m = 9,581 times 10^5 m
Isso significa que a separação linear é de aproximadamente 958.100 metros.

Passo 7

Convertendo para quilômetros:
958.100 m = 958,1 km

Resposta

A separação linear dos dois objetos na superfície de Marte que podem ser resolvidos pelo telescópio de 5,1 metros do Monte Palomar é de aproximadamente 958,1 quilômetros.

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