(a) Estime o valor de
traçando o gráfico da função
(b) Faça uma tabela de valores de
para estimar qual será o valor do limite
© Demonstre que sua conjectura está correta
traçando o gráfico da função
(b) Faça uma tabela de valores de
© Demonstre que sua conjectura está correta
Passo 1
Vamos resolver o exercício que envolve calcular o limite da função
quando
tende a menos infinito (
). O conteúdo principal aqui é o estudo de limites no cálculo, especialmente envolvendo funções com radicais. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões com raízes quadradas e analisar o comportamento da função quando
fica muito grande em valor negativo.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar entender o que acontece com a função
quando
se torna muito negativo. Como
é negativo e está crescendo em valor negativo,
será positivo e muito grande, enquanto
será negativo e de magnitude menor. Então, dentro da raiz quadrada,
será aproximadamente
para
muito negativo.
Assim, podemos simplificar a expressão:
Então, a função fica:
Isso sugere que o limite tende a 0, mas vamos confirmar isso com mais precisão.
Passo 3
Para ter uma ideia melhor, vamos criar uma tabela de valores de
para
cada vez mais negativo:
Observamos que conforme
fica mais negativo,
se aproxima de -0.50.
Passo 4
Agora, vamos provar matematicamente que o limite é de fato -0.50. Observamos que:
Podemos fatorar
dentro da raiz:
Como
tende a menos infinito,
:
Podemos expandir a raiz usando a aproximação para
muito grande:
Substituindo de volta:
Quando
, o termo
tende a 0, então:
Resposta
O limite de
quando
tende a menos infinito é
.
Exercícios relacionados
Encontre o limite:
Encontre o limite ou mostre que ele n ao existe.
.
Ache a equação da assíntota oblíqua. Não desenhe a curva.