(a) Estime o valor de
lim x -infty(raizx^2+x+1+x)
traçando o gráfico da função f(x)=raizx^2+x+1+x
(b) Faça uma tabela de valores de f(x) para estimar qual será o valor do limite
© Demonstre que sua conjectura está correta

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve calcular o limite da função quando tende a menos infinito ( ). O conteúdo principal aqui é o estudo de limites no cálculo, especialmente envolvendo funções com radicais. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões com raízes quadradas e analisar o comportamento da função quando fica muito grande em valor negativo.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar entender o que acontece com a função raizx^2 + x + 1 approx raizx^2 = |x| = -x (pois x -infty) quando f(x) approx -x + x = 0 se torna muito negativo. Como é negativo e está crescendo em valor negativo, será positivo e muito grande, enquanto será negativo e de magnitude menor. Então, dentro da raiz quadrada, será aproximadamente para muito negativo.
Assim, podemos simplificar a expressão:
Então, a função fica:
Isso sugere que o limite tende a 0, mas vamos confirmar isso com mais precisão.

Passo 3

Para ter uma ideia melhor, vamos criar uma tabela de valores de |c|c| hline x & f(x) = raizx^2 + x + 1 + x hline -10 & raiz100 - 10 + 1 + (-10) = raiz91 - 10 approx 9.54 - 10 = -0.46 -100 & raiz10000 - 100 + 1 + (-100) = raiz9901 - 100 approx 99.50 - 100 = -0.50 -1000 & raiz1000000 - 1000 + 1 + (-1000) = raiz999001 - 1000 approx 999.50 - 1000 = -0.50 hline para cada vez mais negativo:
Observamos que conforme fica mais negativo, se aproxima de -0.50.

Passo 4

Agora, vamos provar matematicamente que o limite é de fato -0.50. Observamos que:
f(x) = raizx^2 + x + 1 + x
Podemos fatorar f(x) = raizx^2(1 + 1x + 1x^2) + x = |x|raiz1 + 1x + 1x^2 + x dentro da raiz:
f(x) = -x raiz1 + 1x + 1x^2 + x
Como raiz1 + 1x + 1x^2 approx 1 + 12x + 12x^2 tende a menos infinito, f(x) approx -x (1 + 12x + 12x^2) + x = -x - 12 - 12x + x = -12 - 12x :
limx -infty f(x) = -12
Podemos expandir a raiz usando a aproximação para muito grande:
Substituindo de volta:
Quando , o termo tende a 0, então:

Resposta

O limite de quando tende a menos infinito é .

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