Resolva as seguintes equações diferenciais de primeira ordem:
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo:
Estamos resolvendo uma equação diferencial de primeira ordem:
Estamos resolvendo uma equação diferencial de primeira ordem:
Vamos precisar usar o conceito de equações exatas para resolver essa equação. Equações exatas permitem encontrar uma função potencial cuja derivada total corresponde à equação dada.
Passo 2
Identificando as Funções M e N:
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
Comparando com a equação dada:
Passo 3
Verificando se a Equação é Exata:
Uma equação é exata se:
Uma equação é exata se:
Calculando as derivadas parciais:
-
-
Como as derivadas são iguais, a equação é exata.
Passo 4
Encontrando a Função Potencial F(x, y):
Sabemos que:
Sabemos que:
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Determinar a Função
:
Sabemos que:
Sabemos que:
Derivando
em relação a
:
Igualando com
:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos chamar de
.
Passo 6
Escrevendo a Solução Geral:
A função potencial encontrada é:
A função potencial encontrada é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Um objeto de dimensão desprezível é lançado verticalmente para baixo a uma altura h do solo. Considere que exista apenas duas forças externas atuando no objeto. A força gravitacional (
) e a força de arrasto (
), onde
são respectivamente, a massa, a aceleração da gravidade, o coeficiente de arrasto e a velocidade do objeto. Sabendo que a segunda lei de Newton é
, reescreva a equação diferencial como linear de primeira ordem e resolva o PVI para
.
Estime o valor de
. Justifique sua resposta. Por que essa aproximação funciona?
Verifique a convergência das seguintes integrais:
c)
c)
Verifique a convergência das seguintes integrais:
h)
h)