Resolva as seguintes equações diferenciais de primeira ordem:

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo:
Estamos resolvendo uma equação diferencial de primeira ordem:
Vamos precisar usar o conceito de equações exatas para resolver essa equação. Equações exatas permitem encontrar uma função potencial cuja derivada total corresponde à equação dada.

Passo 2

Identificando as Funções M e N:
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
Comparando com a equação dada:

Passo 3

Verificando se a Equação é Exata:
Uma equação é exata se:
Calculando as derivadas parciais:

  • Como as derivadas são iguais, a equação é exata.

Passo 4

Encontrando a Função Potencial F(x, y):
Sabemos que:
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Determinar a Função :
Sabemos que:
Derivando em relação a :
Igualando com :
Isso implica que , então é uma constante, que podemos chamar de .

Passo 6

Escrevendo a Solução Geral:
A função potencial encontrada é:
Onde é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Um objeto de dimensão desprezível é lançado verticalmente para baixo a uma altura h do solo. Considere que exista apenas duas forças externas atuando no objeto. A força gravitacional ( ) e a força de arrasto ( ), onde são respectivamente, a massa, a aceleração da gravidade, o coeficiente de arrasto e a velocidade do objeto. Sabendo que a segunda lei de Newton é , reescreva a equação diferencial como linear de primeira ordem e resolva o PVI para .
Estime o valor de . Justifique sua resposta. Por que essa aproximação funciona?
Verifique a convergência das seguintes integrais:
c)
Verifique a convergência das seguintes integrais:
h)