(a) Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície z = x^2 + 4y e acima do retângulo R = {(x, y) | 0 <= x <= 2, 0 <= y <= 3}. Use uma soma de Riemann com m=2, n=3 e tome como ponto amostral o canto superior direito de cada sub-retângulo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa estimar o volume do sólido que está abaixo da superfície e acima do retângulo . Para isso, vamos usar uma soma de Riemann com subdivisões no eixo e no eixo . A gente vai usar o canto superior direito de cada sub-retângulo como ponto amostral.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o retângulo em sub-retângulos menores. Como e , a gente divide o intervalo de de 0 a 2 em 2 partes e o intervalo de de 0 a 3 em 3 partes.
Isso significa que o comprimento de cada sub-intervalo em é:
E o comprimento de cada sub-intervalo em é:

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos amostrais, ou seja, os cantos superiores direitos de cada sub-retângulo. Como e , os pontos amostrais são:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o valor da função em cada um desses pontos:

Passo 5

Para estimar o volume, a gente soma todos esses valores de e multiplica pelo tamanho dos sub-retângulos ( ):

Resposta

O volume estimado do sólido é unidades cúbicas.

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