Exercício 4.1 Em cada um dos problemas resolva o problema de valores de contorno dado:
A. ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valores de contorno. A gente tem a equação diferencial , que está relacionada a oscilações e ondas na matemática. Pra resolver isso, vamos precisar achar uma função que satisfaça essa equação e também atenda às condições dadas: e .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea . A solução geral dessa equação é uma combinação de funções trigonométricas:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 3

Agora, aplicamos a primeira condição de contorno na solução geral:
Então, a solução simplifica para:

Passo 4

Em seguida, precisamos usar a segunda condição de contorno, que envolve a derivada da função: . Primeiro, vamos achar a derivada de :
Agora, aplicamos :

Passo 5

Com o valor de encontrado, substituímos de volta na solução:

Resposta

A solução do problema de valores de contorno é .

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B. ;
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Utilize a soma de Riemann com e tome como ponto de amostragem o canto superior direito de cada sub-retângulo.