Uma estrela dupla é constituída por duas estrelas com a mesma massa do Sol, , girando em torno do centro de massa do sistema. A distância entre estas estrelas é (um quarto) da distância entre a Terra e o Sol, . Usando as leis de movimento (sem usar a Lei de Kepler):
b) Encontre, agora, a expressão para o período orbital, , de rotação da estrela dupla acima, uma em torno da outra, em função de e de .
Escolha uma opção:
○ 1.
P ano =2 pi raizRT^3G MS 2. P*=14 raiz2(2 pi raizRT^3G MT)
P ano =2 pi raizRT^3G MS
2 P*=18 raiz2(2 pi raizRT^3G MT)
○ 1. P ano =pi raizRT^3G MS
2 P*=18 raiz2(pi raizRT^3G MT)
P ano =2 pi raizRT^2G MS
2 P*=18 raiz2(2 pi raizRT^2G MT)
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma estrela dupla, ou seja, duas estrelas com a mesma massa que o Sol (MS) girando em torno do centro de massa do sistema. A distância entre elas é um quarto da distância entre a Terra e o Sol (RT4). O objetivo aqui é encontrar uma expressão para o período orbital (P*) dessa rotação, utilizando as leis de movimento e relacionando P* com MS, RT e a constante gravitacional (G).
Passo 2
Primeiro, vamos entender que, como as duas estrelas têm a mesma massa, elas giram em círculos de mesma distância em torno do centro de massa. A distância total entre elas é RT4, então cada estrela está a RT8 do centro de massa.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração. A força gravitacional entre as duas estrelas fornece a força centrípeta necessária para que cada estrela mantenha sua órbita circular.
A força gravitacional (Fgrav) é dada por:
Fgrav = G MS^2(RT4)^2 = 16 G MS^2RT^2
Passo 4
A força centrípeta (Fc) necessária para manter a estrela em órbita é:
Fc = MS v^2r
Onde v é a velocidade orbital e r = RT8 é o raio da órbita.
Passo 5
Substituindo a velocidade orbital em termos do período (P*):
v = 2 pi rP*
Então,
Fc = MS (2 pi rP*)^2r = 4 pi^2 MS rP*^2
Passo 6
Igualando as duas forças para manter a órbita:
16 G MS^2RT^2 = 4 pi^2 MS rP*^2
Simplificando, podemos cancelar um MS de ambos os lados:
16 G MSRT^2 = 4 pi^2 rP*^2
Passo 7
Isolando P*^2:
P*^2 = 4 pi^2 r RT^216 G MS = pi^2 r RT^24 G MS
Substituindo r = RT8:
P*^2 = pi^2 (RT8) RT^24 G MS = pi^2 RT^332 G MS
Passo 8
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar P*:
P* = pi raizRT^332 G MS = 14 raiz2 (2 pi raizRT^3G MS)