Uma estrela dupla é constituída por duas estrelas com a mesma massa do Sol, MS, girando em torno do centro de massa do sistema. A distância entre estas estrelas é 14 (um quarto) da distância entre a Terra e o Sol, RT4. Usando as leis de movimento (sem usar a Lei de Kepler):
b) Encontre, agora, a expressão para o período orbital, P*, de rotação da estrela dupla acima, uma em torno da outra, em função de MS, RT e de G.
Escolha uma opção:
○ 1. P ano =2 pi raizRT^3G MS
2 P*=18(2 pi raizRT^3G MT)
    1. P ano =2 pi raizRT^3G MS 2. P*=14 raiz2(2 pi raizRT^3G MT)
    1. P ano =2 pi raizRT^3G MS
2 P*=18 raiz2(2 pi raizRT^3G MT)
○ 1. P ano =pi raizRT^3G MS
2 P*=18 raiz2(pi raizRT^3G MT)
  1. P ano =2 pi raizRT^2G MS
2 P*=18 raiz2(2 pi raizRT^2G MT)

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma estrela dupla, ou seja, duas estrelas com a mesma massa que o Sol ( MS) girando em torno do centro de massa do sistema. A distância entre elas é um quarto da distância entre a Terra e o Sol ( RT4). O objetivo aqui é encontrar uma expressão para o período orbital ( P*) dessa rotação, utilizando as leis de movimento e relacionando P* com MS, RT e a constante gravitacional ( G).

Passo 2

Primeiro, vamos entender que, como as duas estrelas têm a mesma massa, elas giram em círculos de mesma distância em torno do centro de massa. A distância total entre elas é RT4, então cada estrela está a RT8 do centro de massa.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração. A força gravitacional entre as duas estrelas fornece a força centrípeta necessária para que cada estrela mantenha sua órbita circular.
A força gravitacional ( Fgrav) é dada por:
Fgrav = G MS^2(RT4)^2 = 16 G MS^2RT^2

Passo 4

A força centrípeta ( Fc) necessária para manter a estrela em órbita é:
Fc = MS v^2r
Onde v é a velocidade orbital e r = RT8 é o raio da órbita.

Passo 5

Substituindo a velocidade orbital em termos do período ( P*):
v = 2 pi rP*
Então,
Fc = MS (2 pi rP*)^2r = 4 pi^2 MS rP*^2

Passo 6

Igualando as duas forças para manter a órbita:
16 G MS^2RT^2 = 4 pi^2 MS rP*^2
Simplificando, podemos cancelar um MS de ambos os lados:
16 G MSRT^2 = 4 pi^2 rP*^2

Passo 7

Isolando P*^2:
P*^2 = 4 pi^2 r RT^216 G MS = pi^2 r RT^24 G MS
Substituindo r = RT8:
P*^2 = pi^2 (RT8) RT^24 G MS = pi^2 RT^332 G MS

Passo 8

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar P*:
P* = pi raizRT^332 G MS = 14 raiz2 (2 pi raizRT^3G MS)

Resposta

A expressão para o período orbital é:
P*=18 raiz2(2 pi raizRT^3G MT)

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