Uma estrela dupla é constituída por duas estrelas com a mesma massa do Sol,
, girando em torno do centro de massa do sistema. A distância entre estas estrelas é
(um quarto) da distância entre a Terra e o Sol,
. Usando as leis de movimento (sem usar a Lei de Kepler):
a) Encontre a expressão para o período orbital de rotação da Terra em torno do Sol em função de
e da constante gravitacional
, desprezível em comparação com
. Esse período,
é, por definição, um ano.
a) Encontre a expressão para o período orbital de rotação da Terra em torno do Sol em função de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de duas estrelas iguais, cada uma com a massa do Sol, $ M_S $. Elas estão girando em torno do centro de massa desse sistema, e a distância entre elas é um quarto da distância entre a Terra e o Sol, que chamamos de $ R_T $. Queremos descobrir quanto tempo leva para elas completarem uma órbita, ou seja, o período orbital $ P_{\alpha} $, que por definição é um ano. Para isso, vamos usar as leis de movimento de Newton e a lei da gravitação universal, sem usar a Lei de Kepler. Vamos precisar entender a força gravitacional e a força centrípeta que mantém as estrelas em órbita.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força gravitacional entre as duas estrelas é dada pela fórmula da Lei da Gravitação Universal:
Aqui, $ G $ é a constante gravitacional, $ M_S $ é a massa de cada estrela, e $ R $ é a distância entre elas. No nosso caso, $ R = \frac{R_T}{4} $.
Passo 3
Agora, para manter as estrelas em órbita circular, a força gravitacional precisa ser igual à força centrípeta necessária para a manutenção do movimento circular. A força centrípeta é dada por:
onde $ v $ é a velocidade orbital e $ r $ é o raio da órbita de cada estrela em relação ao centro de massa. Como as duas estrelas têm a mesma massa e estão a uma distância $ R $ uma da outra, cada uma está a uma distância $ \frac{R}{2} $ do centro de massa. Então, $ r = \frac{R}{2} = \frac{R_T}{8} $.
Passo 4
Igualando a força gravitacional à força centrípeta:
Podemos simplificar cancelando uma $ M_S $ de cada lado e rearranjando a equação:
Multiplicando ambos os lados por $ R $:
Passo 5
Agora, queremos relacionar a velocidade $ v $ com o período orbital $ P_{\alpha} $. Sabemos que:
Substituindo $ r = \frac{R}{2} $:
Passo 6
Substituindo $ v $ na equação anterior:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por $ P_{\alpha}^2 $:
Passo 7
Resolvendo para $ P_{\alpha} $:
Resposta
O período orbital $ P_{\alpha} $ é dado por: