Uma estrela dupla é constituída por duas estrelas com a mesma massa do Sol, MS, girando em torno do centro de massa do sistema. A distância entre estas estrelas é 14 (um quarto) da distância entre a Terra e o Sol, RT4. Usando as leis de movimento (sem usar a Lei de Kepler):
a) Encontre a expressão para o período orbital de rotação da Terra em torno do Sol em função de MS, RT e da constante gravitacional G , considerando que a massa da Terra é é, desprezível em comparação com MS. Esse período, Pan alpha é, por definição, um ano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de duas estrelas iguais, cada uma com a massa do Sol, $ M_S $. Elas estão girando em torno do centro de massa desse sistema, e a distância entre elas é um quarto da distância entre a Terra e o Sol, que chamamos de $ R_T $. Queremos descobrir quanto tempo leva para elas completarem uma órbita, ou seja, o período orbital $ P_{\alpha} $, que por definição é um ano. Para isso, vamos usar as leis de movimento de Newton e a lei da gravitação universal, sem usar a Lei de Kepler. Vamos precisar entender a força gravitacional e a força centrípeta que mantém as estrelas em órbita.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força gravitacional entre as duas estrelas é dada pela fórmula da Lei da Gravitação Universal:
F = G MS cdot MSR^2
Aqui, $ G $ é a constante gravitacional, $ M_S $ é a massa de cada estrela, e $ R $ é a distância entre elas. No nosso caso, $ R = \frac{R_T}{4} $.

Passo 3

Agora, para manter as estrelas em órbita circular, a força gravitacional precisa ser igual à força centrípeta necessária para a manutenção do movimento circular. A força centrípeta é dada por:
Fcentrípeta = MS cdot v^2r í
onde $ v $ é a velocidade orbital e $ r $ é o raio da órbita de cada estrela em relação ao centro de massa. Como as duas estrelas têm a mesma massa e estão a uma distância $ R $ uma da outra, cada uma está a uma distância $ \frac{R}{2} $ do centro de massa. Então, $ r = \frac{R}{2} = \frac{R_T}{8} $.

Passo 4

Igualando a força gravitacional à força centrípeta:
G MS^2R^2 = MS cdot v^2R2
Podemos simplificar cancelando uma $ M_S $ de cada lado e rearranjando a equação:
MS
Multiplicando ambos os lados por $ R $:
G MSR^2 = 2 v^2R

Passo 5

Agora, queremos relacionar a velocidade $ v $ com o período orbital $ P_{\alpha} $. Sabemos que:
v
Substituindo $ r = \frac{R}{2} $:
Palpha

Passo 6

Substituindo $ v $ na equação anterior:
v
Simplificando:
G MSR = 2 ( pi RPalpha )^2
Multiplicando ambos os lados por $ P_{\alpha}^2 $:
G MSR = 2 pi^2 R^2Palpha^2

Passo 7

Resolvendo para $ P_{\alpha} $:
Palpha
Palpha^2 = 2 pi^2 R^3G MS

Resposta

O período orbital $ P_{\alpha} $ é dado por:
Palpha

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