Estudando um fenômeno físico, um pesquisador conclui que o comprimento do deslocamento de um objeto em estudo depende de certa força ( F ), de certa velocidade ( v ) e de certa massa ( m ).
Através da análise dimensional das grandezas citadas, determine uma possível expressão para a equação do comprimento de deslocamento, sendo que o fator dimensional que figura na relação é igual a 9,4.

Dados:

F=9 , 4 N
v=8 , 8 m / s
m=8 , 8 k g

Pede-se:

a) Determine uma possível expressão para a equação do comprimento de deslocamento e com os dados, calcule o seu valor, em
Resposta: square

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem um fenômeno físico onde o comprimento do deslocamento de um objeto depende de três coisas: força ( F), velocidade ( v) e massa ( m). A ideia é usar a análise dimensional pra descobrir uma possível equação que relaciona essas grandezas e, depois, calcular o deslocamento usando os dados fornecidos. A gente vai precisar entender um pouco sobre análise dimensional e como aplicar as unidades das grandezas envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é análise dimensional. Basicamente, é um método para verificar se uma equação física está correta em termos de unidades. A gente iguala as dimensões de um lado da equação com as do outro lado. Aqui, queremos relacionar F, v e m para encontrar o deslocamento ( s).

Passo 3

Vamos assumir que o deslocamento s pode ser uma combinação das grandezas F, v e m elevadas a certos expoentes. Ou seja:
s = k cdot F^a cdot v^b cdot m^c
Onde k é o fator dimensional (que sabemos que é 9,4) e a, b, c são os expoentes que precisamos determinar.

Passo 4

Agora, vamos substituir as unidades de cada grandeza na equação. As unidades são:
  • Força, F: Newtons ( N) = kg·m/s²
  • Velocidade, v: m/s
  • Massa, m: kg
  • Deslocamento, s: metros (m)
Substituindo na equação:
[m] = [kg cdot m/s²]^a cdot [m/s]^b cdot [kg]^c ²

Passo 5

Vamos expandir as unidades:
m = (kg^a cdot m^a cdot s^-2a) cdot (m^b cdot s^-b) cdot (kg^c)
Reagrupando os termos:
m = kg^a+c cdot m^a+b cdot s^-2a - b

Passo 6

Agora, igualamos os expoentes das unidades de ambos os lados da equação. O lado direito tem:
  • Massa (kg): a + c
  • Comprimento (m): a + b
  • Tempo (s): -2a - b
E o lado esquerdo tem apenas:
  • Comprimento (m): 1
Então, temos o sistema de equações:
  1. a + c = 0 (não há kg no lado esquerdo)
  2. a + b = 1 (unidade de comprimento)
  3. -2a - b = 0 (não há tempo no lado esquerdo)

Passo 7

Vamos resolver esse sistema de equações:
Da equação 3:
-2a - b = 0 implies b = -2a
Substituindo b = -2a na equação 2:
a + (-2a) = 1 implies -a = 1 implies a = -1
Agora, substituindo a = -1 na equação b = -2a:
b = -2(-1) = 2
E, da equação 1:
a + c = 0 implies -1 + c = 0 implies c = 1

Passo 8

Agora que temos os valores dos expoentes:
a = -1, b = 2, c = 1
Substituindo na equação original:
s = k cdot F^-1 cdot v^2 cdot m^1

Passo 9

Sabemos que o fator dimensional k é igual a 9,4. Então, a equação fica:
s = 9,4 cdot v^2 cdot mF

Passo 10

Agora, vamos usar os dados fornecidos para calcular o deslocamento s:
  • F = 9,4 N
  • v = 8,8 m/s
  • m = 8,8 kg
Substituindo na equação:
s = 9,4 cdot (8,8)^2 cdot 8,89,4

Passo 11

Vamos simplificar a equação. Note que o 9,4 no numerador e no denominador se cancelam:
s = 9,4 cdot 77,44 cdot 8,89,4 = 77,44 cdot 8,8

Passo 12

Agora, multiplicando os valores:
s = 77,44 cdot 8,8 = 681,07 m

Resposta

O comprimento do deslocamento é aproximadamente 681,07 m.

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