Seja o sistema de ondas formado pela superposição de duas ondas regulares se propagando em águas profundas:
l z1(x, t)=a1 cos (w t-k x+v1) z2(x, t)=a2 cos (w t-k x+v2)
onde:
a1=1 m ; a2=1,5 m ; k=0,63 m^-1 ; v^1=45^circ ; v2=-45^circ
Determine o valor da energia potencial média associada à onda resultante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema formado pela superposição de duas ondas que andam em águas profundas. O objetivo aqui é encontrar a energia potencial média da onda resultante dessa superposição. Para resolver isso, vamos precisar entender como as ondas se somam e como calcular a energia potencial associada a elas. Vamos usar um pouco de trigonometria e conceitos básicos de energia de ondas.

Passo 2

Primeiro, vamos somar as duas ondas para encontrar a onda resultante. As ondas são dadas por:
z1(x, t) &= a1 cos (w t - k x + v1) z2(x, t) &= a2 cos (w t - k x + v2)
Então, a onda resultante $ z(x, t) $ é:
z(x, t)

Passo 3

Agora, para encontrar a energia potencial média, precisamos calcular o quadrado da amplitude da onda resultante. Ou seja, vamos calcular $ z(x, t)^2 $:
z(x, t)^2
Onde $ \theta = w t - k x + v_{1} $ e $ \phi = w t - k x + v_{2} $.
Expandindo o quadrado:
z(x, t)^2 = [a1 cos theta + a2 cos phi]^2

Passo 4

Para achar a energia média, vamos tirar a média temporal dessa expressão. Sabemos que a média de $ \cos^2 $ de qualquer ângulo é $ \frac{1}{2} $, e a média de $ \cos \theta \cos \phi $ depende do ângulo de fase entre as ondas.
Portanto:
cos^2

Passo 5

Vamos substituir os valores fornecidos:
a1 = 1 , m, a2 = 1,5 , m, v1 = 45^circ, v2 = -45^circ
Calculando $ v_{1} - v_{2} = 45^{\circ} - (-45^{\circ}) = 90^{\circ} $. E $ \cos(90^{\circ}) = 0 $.
Então:
v1 - v2 = 45^circ - (-45^circ) = 90^circ

Resposta

A energia potencial média associada à onda resultante é de 1,625 metros quadrados.

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