Seja o sistema de ondas formado pela superposição de duas ondas regulares se propagando em águas profundas:
onde:
Determine o valor da energia potencial média associada à onda resultante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema formado pela superposição de duas ondas que andam em águas profundas. O objetivo aqui é encontrar a energia potencial média da onda resultante dessa superposição. Para resolver isso, vamos precisar entender como as ondas se somam e como calcular a energia potencial associada a elas. Vamos usar um pouco de trigonometria e conceitos básicos de energia de ondas.
Passo 2
Primeiro, vamos somar as duas ondas para encontrar a onda resultante. As ondas são dadas por:
Então, a onda resultante $ z(x, t) $ é:
Passo 3
Agora, para encontrar a energia potencial média, precisamos calcular o quadrado da amplitude da onda resultante. Ou seja, vamos calcular $ z(x, t)^2 $:
Onde $ \theta = w t - k x + v_{1} $ e $ \phi = w t - k x + v_{2} $.
Expandindo o quadrado:
Passo 4
Para achar a energia média, vamos tirar a média temporal dessa expressão. Sabemos que a média de $ \cos^2 $ de qualquer ângulo é $ \frac{1}{2} $, e a média de $ \cos \theta \cos \phi $ depende do ângulo de fase entre as ondas.
Portanto:
Passo 5
Vamos substituir os valores fornecidos:
Calculando $ v_{1} - v_{2} = 45^{\circ} - (-45^{\circ}) = 90^{\circ} $. E $ \cos(90^{\circ}) = 0 $.
Então:
Resposta
A energia potencial média associada à onda resultante é de 1,625 metros quadrados.