Um estudante chuta um bloco sem atrito com uma velocidade inicial
, de modo que ele desliza reto para cima ao longo de um plano que está inclinado com um ângulo
acima da horizontal. (a) Escreva a segunda lei de Newton para o bloco e resolva-a para obter a posiçîo do bloco como uma funçĩo do tempo. (b) Quanto tempo o bloco levari até retomar à sua posiçào original?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um bloco que é chutado numa rampa sem atrito, com uma velocidade inicial
. A rampa está inclinada num ângulo
em relação à horizontal. A gente vai usar a Segunda Lei de Newton para descobrir a posição do bloco em função do tempo e depois calcular quanto tempo ele leva para voltar à posição inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante
sobre um objeto é igual à massa
vezes a aceleração
:
No nosso caso, o bloco está se movendo ao longo de uma rampa inclinada, então precisamos considerar as forças na direção da rampa.
Passo 3
As forças atuando no bloco são:
- A força gravitacional, cuja componente na direção da rampa é
. - Não há atrito, então não precisamos considerar essa força.
Então, a força resultante na direção da rampa é:
(O sinal negativo indica que a força da gravidade está puxando o bloco de volta para baixo da rampa.)
Passo 4
Aplicando a Segunda Lei de Newton na direção da rampa:
Podemos cancelar a massa
dos dois lados:
Então, a aceleração do bloco é constante e igual a
.
Passo 5
Agora, para encontrar a posição
do bloco em função do tempo, vamos usar as equações do movimento uniformemente acelerado. Sabemos que a velocidade inicial é
e a aceleração é
.
A equação da velocidade em função do tempo é:
E a posição em função do tempo é:
Passo 6
Agora, para a parte (b), queremos saber quanto tempo o bloco leva para voltar à posição original. Isso acontece quando
.
Então, resolvemos a equação:
Fatorando
:
As soluções são
(início) e:
Resposta
O bloco leva
segundos para retornar à posição original.