Um estudante chuta um bloco sem atrito com uma velocidade inicial v0, de modo que ele desliza reto para cima ao longo de um plano que está inclinado com um ângulo theta acima da horizontal. (a) Escreva a segunda lei de Newton para o bloco e resolva-a para obter a posiçîo do bloco como uma funçĩo do tempo. (b) Quanto tempo o bloco levari até retomar à sua posiçào original?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um bloco que é chutado numa rampa sem atrito, com uma velocidade inicial . A rampa está inclinada num ângulo em relação à horizontal. A gente vai usar a Segunda Lei de Newton para descobrir a posição do bloco em função do tempo e depois calcular quanto tempo ele leva para voltar à posição inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante F = m cdot a sobre um objeto é igual à massa vezes a aceleração :
No nosso caso, o bloco está se movendo ao longo de uma rampa inclinada, então precisamos considerar as forças na direção da rampa.

Passo 3

As forças atuando no bloco são:
  1. A força gravitacional, cuja componente na direção da rampa é F = -m cdot g cdot sin(theta) .
  2. Não há atrito, então não precisamos considerar essa força.
Então, a força resultante na direção da rampa é:
(O sinal negativo indica que a força da gravidade está puxando o bloco de volta para baixo da rampa.)

Passo 4

Aplicando a Segunda Lei de Newton na direção da rampa:
F = m cdot a Rightarrow -m cdot g cdot sin(theta) = m cdot a
Podemos cancelar a massa a = -g cdot sin(theta) dos dois lados:
Então, a aceleração do bloco é constante e igual a .

Passo 5

Agora, para encontrar a posição v(t) = v0 + a cdot t = v0 - g cdot sin(theta) cdot t do bloco em função do tempo, vamos usar as equações do movimento uniformemente acelerado. Sabemos que a velocidade inicial é s(t) = v0 cdot t + 12 cdot a cdot t^2 = v0 cdot t - 12 cdot g cdot sin(theta) cdot t^2 e a aceleração é .
A equação da velocidade em função do tempo é:
E a posição em função do tempo é:

Passo 6

Agora, para a parte (b), queremos saber quanto tempo o bloco leva para voltar à posição original. Isso acontece quando v0 cdot t - 12 cdot g cdot sin(theta) cdot t^2 = 0 .
Então, resolvemos a equação:
t ( v0 - 12 cdot g cdot sin(theta) cdot t ) = 0
Fatorando v0 - 12 cdot g cdot sin(theta) cdot t = 0 Rightarrow t = 2 v0g cdot sin(theta) :
As soluções são (início) e:

Resposta

O bloco leva segundos para retornar à posição original.

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OBS. Justifique as incorretas.
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