Um estudante fabrica um pequeno eletroímã enrolando 300 espiras de fio em um cilindro de madeira com um diâmetro d=5,0 cm. A bobina é ligada a uma bateria que produz uma corrente de 4,0 A no fio. (a) Qual é o módulo do momento dipolar magnético do eletroímã? (b) A que distância axial z>>d o campo magnético do eletroímã tem um módulo de 5,0 mu T (aproximadamente um décimo do campo magnético da Terra)?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um eletroímã que foi montado enrolando 300 espiras de fio em um cilindro de madeira com diâmetro de 5,0 cm. A corrente que passa no fio é de 4,0 A. A matéria que vamos usar aqui é Magnetismo, especialmente o conceito de momento dipolar magnético e o campo magnético produzido por um dipolo magnético. Vamos precisar das fórmulas que relacionam o número de espiras, a corrente e o momento magnético, além da expressão para o campo magnético axial de um dipolo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a): encontrar o módulo do momento dipolar magnético do eletroímã. O momento dipolar magnético ($ \vec{m} $) de uma bobina é dado por:
m
onde:
  • $ N $ é o número de espiras,
  • $ I $ é a corrente,
  • $ \vec{A} $ é a área da seção transversal da bobina.

Passo 3

Vamos calcular a área da seção transversal ($ A A â d d éã r $) é metade disso:
r
A área da seção transversal é:
r = d2 = 5,0 cm2 = 2,5 cm = 0,025 m

Passo 4

Agora, aplicando na fórmula do momento dipolar magnético:
m = N cdot I cdot A = 300 cdot 4,0 A cdot 0,00196 m^2 approx 2,35 Acdotm^2

Passo 5

Passando para a parte (b): queremos encontrar a distância axial $ z $ onde o campo magnético $ B $ do eletroímã é $ 5,0\ \muT $. Para um dipolo magnético, o campo no eixo axial é dado por:
z
onde $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ 4\pi \times 10^{-7}\ T\cdotm/A $).

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para resolver $ z $:
z
Então:
B(z) = mu04pi cdot 2mz^3 implies z^3 = mu04pi cdot 2mB(z)

Passo 7

Substituindo os valores:
mu0 = 4pi times 10^-7 Tcdotm/A, m = 2,35 Acdotm^2, B(z) = 5,0 times 10^-6 T
z = ( 4pi times 10^-74pi cdot 2 times 2,355,0 times 10^-6 )^1/3
Simplificando:
z = ( 10^-7 cdot 4,75,0 times 10^-6 )^1/3 = ( 10^-7 cdot 9,4 times 10^5 )^1/3 = ( 9,4 times 10^-2 )^1/3

Passo 8

Calculando a raiz cúbica:
z approx (0,094)^1/3 approx 0,45 m

Resposta

(a) O momento dipolar magnético do eletroímã é aproximadamente $ 2,35\ A\cdotm^2 $.
(b) A distância axial $ z $ onde o campo magnético é $ 5,0\ \muT $ é de aproximadamente $ 0,45\ metros $.

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