Um estudante fabrica um pequeno eletroímã enrolando 300 espiras de fio em um cilindro de madeira com um diâmetro
. A bobina é ligada a uma bateria que produz uma corrente de
no fio. (a) Qual é o módulo do momento dipolar magnético do eletroímã? (b) A que distância axial
o campo magnético do eletroímã tem um módulo de
(aproximadamente um décimo do campo magnético da Terra)?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um eletroímã que foi montado enrolando 300 espiras de fio em um cilindro de madeira com diâmetro de 5,0 cm. A corrente que passa no fio é de 4,0 A. A matéria que vamos usar aqui é Magnetismo, especialmente o conceito de momento dipolar magnético e o campo magnético produzido por um dipolo magnético. Vamos precisar das fórmulas que relacionam o número de espiras, a corrente e o momento magnético, além da expressão para o campo magnético axial de um dipolo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a): encontrar o módulo do momento dipolar magnético do eletroímã. O momento dipolar magnético ($ \vec{m} $) de uma bobina é dado por:
onde:
- $ N $ é o número de espiras,
- $ I $ é a corrente,
- $ \vec{A} $ é a área da seção transversal da bobina.
Passo 3
Vamos calcular a área da seção transversal ($ A
d
r $) é metade disso:
A área da seção transversal é:
Passo 4
Agora, aplicando na fórmula do momento dipolar magnético:
Passo 5
Passando para a parte (b): queremos encontrar a distância axial $ z $ onde o campo magnético $ B $ do eletroímã é $ 5,0\ \muT $. Para um dipolo magnético, o campo no eixo axial é dado por:
onde $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ 4\pi \times 10^{-7}\ T\cdotm/A $).
Passo 6
Vamos reorganizar a equação para resolver $ z $:
Então:
Passo 7
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 8
Calculando a raiz cúbica:
Resposta
(a) O momento dipolar magnético do eletroímã é aproximadamente $ 2,35\ A\cdotm^2 $.
(b) A distância axial $ z $ onde o campo magnético é $ 5,0\ \muT $ é de aproximadamente $ 0,45\ metros $.