Um estudante de Física III-C construiu a escala linear de temperatura Y utilizando a altura
de uma coluna de mercúrio como propriedade termométrica. Ele definiu o ponto de fusão do ácido acético como
e o ponto de ebulição do etanol como
. Depois, ele mergulhou o seu termômetro em um líquido e, após um tempo suficientemente grande, a altura da coluna de mercúrio atingiu uma altura
. (b) (10 pts) Sabendo que o ponto de ebulição do etanol é
e que o ponto de fusão do ácido acético é 16,6
, qual a temperatura do líquido na escala Celsius?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um termômetro que usa a altura
de uma coluna de mercúrio para medir a temperatura. Esse termômetro foi calibrado com dois pontos: o ponto de fusão do ácido acético e o ponto de ebulição do etanol. A gente precisa descobrir a temperatura de um líquido desconhecido na escala Celsius quando a altura da coluna de mercúrio é
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de escala linear e interpolação linear. Basicamente, vamos estabelecer uma relação direta entre a altura
e a temperatura nas escalas
e
(Celsius).
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre a altura
e a escala
. Sabemos que:
- Quando
, a temperatura é . - Quando
, a temperatura é .
Como a relação é linear, podemos escrever a equação da reta que liga esses dois pontos:
Vamos determinar os coeficientes
e
.
Passo 3
Usando os pontos dados:
- Para
:
- Para
:
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
.
Passo 4
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora, substituímos
na primeira equação para encontrar
:
Então, a equação que relaciona
com
é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o valor de
quando
:
Passo 6
Agora, precisamos relacionar a escala
com a escala Celsius
. Sabemos que:
-
corresponde a -
corresponde a
Vamos assumir que essa relação também é linear, então podemos escrever:
Vamos determinar
e
.
Passo 7
Usando os pontos dados:
- Para
:
- Para
:
Então, a equação que relaciona
com
é:
Passo 8
Agora, vamos substituir o valor de
na equação para encontrar
:
Resposta
A temperatura do líquido na escala Celsius é aproximadamente
.