Um estudante de Física III-C construiu a escala linear de temperatura Y utilizando a altura X de uma coluna de mercúrio como propriedade termométrica. Ele definiu o ponto de fusão do ácido acético como 0^circ Y(X=5,00 cm) e o ponto de ebulição do etanol como 100^circ Y(X=17,5 cm). Depois, ele mergulhou o seu termômetro em um líquido e, após um tempo suficientemente grande, a altura da coluna de mercúrio atingiu uma altura X=10,0 cm. (b) (10 pts) Sabendo que o ponto de ebulição do etanol é 78,4^circ C e que o ponto de fusão do ácido acético é 16,6 ^circ C, qual a temperatura do líquido na escala Celsius?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um termômetro que usa a altura de uma coluna de mercúrio para medir a temperatura. Esse termômetro foi calibrado com dois pontos: o ponto de fusão do ácido acético e o ponto de ebulição do etanol. A gente precisa descobrir a temperatura de um líquido desconhecido na escala Celsius quando a altura da coluna de mercúrio é .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de escala linear e interpolação linear. Basicamente, vamos estabelecer uma relação direta entre a altura e a temperatura nas escalas e (Celsius).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre a altura Y = aX + b e a escala . Sabemos que:
  • Quando , a temperatura é .
  • Quando , a temperatura é .
Como a relação é linear, podemos escrever a equação da reta que liga esses dois pontos:
Vamos determinar os coeficientes e .

Passo 3

Usando os pontos dados:
  1. Para 0 = 5a + b :
100 = 17,5a + b
  1. Para :
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e .

Passo 4

Subtraindo a primeira equação da segunda:
100 - 0 = (17,5a + b) - (5a + b) 100 = 12,5a a = 10012,5 a = 8
Agora, substituímos 0 = 5 times 8 + b 0 = 40 + b b = -40 na primeira equação para encontrar Y = 8X - 40 :
Então, a equação que relaciona com é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar o valor de Y = 8 times 10,0 - 40 Y = 80 - 40 Y = 40^circ Y quando :

Passo 6

Agora, precisamos relacionar a escala C = cY + d com a escala Celsius . Sabemos que:
  • corresponde a
  • corresponde a
Vamos assumir que essa relação também é linear, então podemos escrever:
Vamos determinar e .

Passo 7

Usando os pontos dados:
  1. Para 16,6 = c times 0 + d d = 16,6 :
78,4 = 100c + 16,6 100c = 78,4 - 16,6 100c = 61,8 c = 0,618
  1. Para C = 0,618Y + 16,6 :
Então, a equação que relaciona com é:

Passo 8

Agora, vamos substituir o valor de C = 0,618 times 40 + 16,6 C = 24,72 + 16,6 C = 41,32^circ C na equação para encontrar :

Resposta

A temperatura do líquido na escala Celsius é aproximadamente .

Exercícios relacionados