Resolva as integrais usando métodos adequados: integral d xraiz(x^2+2 x+5)^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral junto! A questão pede para calcular a integral de em relação a . Aqui, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente técnicas de substituição e completar o quadrado para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos por etapas para deixar tudo claro!

Passo 2

Primeiro, vamos observar a expressão dentro da raiz: x^2 + 2x + 5 = (x^2 + 2x + 1) + 4 = (x + 1)^2 + 4 . Para simplificar, vamos completar o quadrado dessa expressão quadrática. Completar o quadrado ajuda a transformar a expressão em uma forma mais fácil de integrar.
A expressão pode ser reescrita completando o quadrado:

Passo 3

Agora que temos u = x + 1 Rightarrow du = dx , podemos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
integral dxraiz(x^2+2x+5)^3 = integral duraiz(u^2 + 4)^3
Substituindo na integral original:

Passo 4

Para resolver u = 2 tantheta Rightarrow du = 2 sec^2theta , dtheta , vamos usar uma substituição trigonométrica. Sabemos que para expressões da forma , a substituição é útil. Aqui, , então .
Definindo:

Passo 5

Substituindo na integral:
integral 2 sec^2theta , dthetaraiz(4 tan^2theta + 4)^3 = integral 2 sec^2theta , dthetaraiz4 (tan^2theta + 1)^3
Sabemos que integral 2 sec^2theta , dthetaraiz4 (sec^2theta)^3 = integral 2 sec^2theta , dthetaraiz4 sec^6theta = integral 2 sec^2theta , dtheta2 sec^3theta = integral costheta , dtheta , então:

Passo 6

A integral integral costheta , dtheta = sintheta + C é simples de resolver:

Passo 7

Agora, precisamos voltar às variáveis originais. Lembramos que fizemos tantheta = u2 Rightarrow theta = tan^-1( u2 ) , então:
sintheta = uraizu^2 + 4 = x + 1raiz(x + 1)^2 + 4 = x + 1raizx^2 + 2x + 5
E . Portanto:

Resposta

A integral avaliada é:
integral dxraiz(x^2+2x+5)^3 = x + 14 raizx^2 + 2x + 5 + C

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