Use coordenadas cilíndricas para calcular o volume da região limitada pelo cilindro
e pelos planos
e
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o volume da região delimitada pelo cilindro
e pelos planos
e
. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são muito úteis quando trabalhamos com formas circulares como cilindros.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funcionam as coordenadas cilíndricas. Em vez de usar
,
e
, usamos
(a distância do ponto até o eixo
),
(o ângulo em torno do eixo
) e
, que continua sendo a mesma da coordenada cartesiana. A relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é dada por:
Passo 3
Vamos identificar os limites de integração. O cilindro
em coordenadas cilíndricas fica
, porque
. Isso significa que
varia de 0 a 1.
Passo 4
Os planos
e
definem os limites para a coordenada
. Assim,
varia de 0 a 5.
Passo 5
Para calcular o volume usando integrais em coordenadas cilíndricas, usamos a fórmula do elemento de volume:
Aqui,
aparece porque estamos mudando de coordenadas cartesianas para cilíndricas.
Passo 6
Vamos estabelecer os limites de integração para cada variável:
-
varia de 0 a 1 -
varia de 0 a (para cobrir toda a circunferência) -
varia de 0 a 5
Passo 7
Montamos a integral tripla para o volume:
Passo 8
Vamos resolver a integral começando por
:
Então, a integral fica:
Passo 9
Agora, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 10
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
O volume da região é
unidades cúbicas.
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Use coordenadas esféricas para calcular
, onde
é a esfera de raio 3 centrada na origem.
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