Use coordenadas cilíndricas para calcular o volume da região limitada pelo cilindro x^2 + y^2 = 1 e pelos planos z = 0 e z = 5.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o volume da região delimitada pelo cilindro e pelos planos e . Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são muito úteis quando trabalhamos com formas circulares como cilindros.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funcionam as coordenadas cilíndricas. Em vez de usar , e , usamos (a distância do ponto até o eixo ), (o ângulo em torno do eixo ) e , que continua sendo a mesma da coordenada cartesiana. A relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é dada por:

Passo 3

Vamos identificar os limites de integração. O cilindro em coordenadas cilíndricas fica , porque . Isso significa que varia de 0 a 1.

Passo 4

Os planos e definem os limites para a coordenada . Assim, varia de 0 a 5.

Passo 5

Para calcular o volume usando integrais em coordenadas cilíndricas, usamos a fórmula do elemento de volume:
Aqui, aparece porque estamos mudando de coordenadas cartesianas para cilíndricas.

Passo 6

Vamos estabelecer os limites de integração para cada variável:
  • varia de 0 a 1
  • varia de 0 a (para cobrir toda a circunferência)
  • varia de 0 a 5

Passo 7

Montamos a integral tripla para o volume:

Passo 8

Vamos resolver a integral começando por :
Então, a integral fica:

Passo 9

Agora, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 10

Por fim, integramos em relação a :

Resposta

O volume da região é unidades cúbicas.

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