Para estudar o dano que a colisão com grandes pássaros pode causar a um avião, você projeta uma arma de teste, que vai acelerar objetos do tamanho de uma galinha, de modo que seu deslocamento ao longo do cano da arma seja dado por
x=(9,0 times 10^3 m / s^2) t^2 sim(8,0 times 10^4 m / s^3) t^3
a) Qual deve ser o comprimento do cano da arma?
b) Qual será o módulo da velocidade dos objetos quando deixam o final do cano?
c) Qual força resultante deve ser exercida sobre um objeto de 1,50 kg a (i) t=0 e (ii) t=0,025 s ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que estuda o dano que uma colisão com grandes pássaros pode causar em um avião. Para isso, foi projetada uma arma de teste que acelera objetos do tamanho de uma galinha. A equação que descreve o deslocamento desses objetos ao longo do cano da arma é:
x = (9,0 times 10^3 , m/s^2) t^2 + (8,0 times 10^4 , m/s^3) t^3
Vamos resolver as três partes do exercício usando conceitos de Cinemática e Dinâmica, como aceleração, velocidade e força.

Passo 2

Parte a) Queremos encontrar o comprimento do cano da arma, ou seja, o deslocamento total quando o objeto sai do cano. Suponho que o tempo total de aceleração seja conhecido ou preciso ser determinado a partir de outras informações. Porém, como não foi especificado, vamos assumir que precisamos encontrar em função do tempo .
A equação já nos dá em função de , então o comprimento do cano depende do tempo durante o qual a arma acelera o objeto.

Passo 3

Parte b) Para encontrar a velocidade do objeto quando ele deixa o final do cano, precisamos derivar a função de deslocamento x = 9,0 times 10^3 , t^2 + 8,0 times 10^4 , t^3 em relação ao tempo v(t) = dxdt = 2 times 9,0 times 10^3 , t + 3 times 8,0 times 10^4 , t^2 = 1,8 times 10^4 , t + 2,4 times 10^5 , t^2 , pois a derivada de deslocamento é a velocidade.
A equação dada é:
Derivando em relação ao tempo:

Passo 4

Parte c) Queremos calcular a força resultante sobre um objeto de F = m cdot a em dois instantes: a(t) = dvdt = 1,8 times 10^4 + 2 times 2,4 times 10^5 , t = 1,8 times 10^4 + 4,8 times 10^5 , t e .
Para isso, vamos usar a segunda lei de Newton:
onde é a força, é a massa e é a aceleração.
Primeiro, precisamos encontrar a aceleração , que é a derivada da velocidade :
Agora, substituímos os valores de para encontrar , e então calculamos .

Resposta

a) O comprimento do cano da arma depende do tempo de aceleração. Sem um tempo específico, não podemos determinar um valor numérico para a(0) = 1,8 times 10^4 , m/s^2 .
b) A velocidade dos objetos ao saírem do cano é dada por F = 1,50 times 1,8 times 10^4 = 2,7 times 10^4 , N .
c)
  • (i) Em a(0,025) = 1,8 times 10^4 + 4,8 times 10^5 times 0,025 = 1,8 times 10^4 + 1,2 times 10^4 = 3,0 times 10^4 , m/s^2 :
F = 1,50 times 3,0 times 10^4 = 4,5 times 10^4 , N
  • (ii) Em :

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