Estudar, no que se refere a máximos e mínimos, as seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício pede para estudar os pontos de máximos e mínimos da função:
Isso envolve conceitos de cálculo, especialmente derivadas, para encontrar onde a função atinge seus pontos mais altos e mais baixos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função em relação a . A derivada nos ajuda a determinar a taxa de variação da função, ou seja, como ela está mudando em cada ponto.
A função é:
A derivada de em relação a é:
Calculando termo a termo:

Passo 3

Agora que temos a derivada , precisamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são valores de onde a derivada é zero ou não existe. Nesse caso, a derivada é um polinômio, então sempre existe. Vamos resolver:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
Então, as soluções são:

Passo 4

Encontramos dois pontos críticos: e . Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos, podemos usar a segunda derivada, que nos informa sobre a concavidade da função.
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada :

Passo 5

Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
Para :
Como , a concavidade é para baixo, o que indica um ponto de máximo.
Para :
Como , a concavidade é para cima, indicando um ponto de mínimo.

Resposta

A função possui um ponto de máximo em e um ponto de mínimo em .

Exercícios relacionados

Se e são as raízes da equação , então .
Calcule e justifique (usando as propriedades de limite):
(Uepg) Considerando que e c são as raízes da equação , assinale o que for correto.
Sejam x, y e z números reais positivos. O valor de que satisfaz a expressão é .