Estudar, no que se refere a máximos e mínimos, as seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício pede para estudar os pontos de máximos e mínimos da função:
Isso envolve conceitos de cálculo, especialmente derivadas, para encontrar onde a função atinge seus pontos mais altos e mais baixos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
em relação a
. A derivada nos ajuda a determinar a taxa de variação da função, ou seja, como ela está mudando em cada ponto.
A função é:
A derivada de
em relação a
é:
Calculando termo a termo:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, precisamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são valores de
onde a derivada é zero ou não existe. Nesse caso, a derivada é um polinômio, então sempre existe. Vamos resolver:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
Então, as soluções são:
Passo 4
Encontramos dois pontos críticos:
e
. Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos, podemos usar a segunda derivada, que nos informa sobre a concavidade da função.
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada
:
Passo 5
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
Para
:
Como
, a concavidade é para baixo, o que indica um ponto de máximo.
Para
:
Como
, a concavidade é para cima, indicando um ponto de mínimo.
Resposta
A função possui um ponto de máximo em
e um ponto de mínimo em
.
Exercícios relacionados
Se
e
são as raízes da equação
, então
.
Calcule e justifique (usando as propriedades de limite):
(Uepg) Considerando que
e c são as raízes da equação
, assinale o que for correto.
Sejam x, y e z números reais positivos. O valor de
que satisfaz a expressão
é
.