Sejam x, y e z números reais positivos. O valor de A que satisfaz a expressão log A = (1/5) [3 log x - (1/2) log y + log (x z)] é raiz( (x^4 * z) / raiz(y) ) ^ (1/5).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três números reais positivos, , e . A gente precisa encontrar o valor de que satisfaz a expressão:
Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades dos logaritmos e das potências. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro dos colchetes. Temos:
Lembrando que , podemos expandir :
Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos juntar os termos semelhantes. Temos , que dá . Assim, a expressão fica:

Passo 4

A próxima etapa é aplicar a regra das potências nos logaritmos. Sabemos que . Aplicando isso, temos:
Então, substituindo na expressão:

Passo 5

Agora, usando novamente a propriedade , podemos combinar os logaritmos:
Então, nossa expressão original ficou:

Passo 6

Para isolar , vamos usar a propriedade inversa dos logaritmos. Se , então:
Aplicando isso aqui:
Ou seja:

Resposta

O valor de é .

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