Estudar, no que se refere a máximos e mínimos, as seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente estudar os máximos e mínimos da função
. Isso significa que vamos identificar se essa função tem algum ponto onde ela atinge um valor máximo ou mínimo. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de cálculo, principalmente sobre derivadas, que são ferramentas que ajudam a encontrar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função. A derivada nos mostra a inclinação da curva em cada ponto, ou seja, quão íngreme está a função em um determinado x. A derivada de
em relação a
é representada por
.
Para a função
, a derivada é:
Isso significa que a inclinação da curva depende do valor de
.
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos (onde podem estar os máximos ou mínimos), a gente iguala a derivada a zero e resolve para
:
Então,
é um candidato a ponto de máximo ou mínimo.
Passo 4
Para determinar se esse ponto é um máximo ou um mínimo, vamos usar a segunda derivada. A segunda derivada nos diz se a curva está “se abrindo pra cima” ou “para baixo” nesse ponto. Se a segunda derivada for positiva, é um mínimo; se for negativa, é um máximo.
Vamos calcular a segunda derivada de
:
Como
é positivo, isso indica que a curva está se abrindo para cima, então o ponto crítico que encontramos é um mínimo.
Resposta
A função
tem um ponto mínimo no ponto
.
Exercícios relacionados
Os valores reais de
para que a equação
admita uma raiz dupla são -2 e 2.
Obtenha os pontos de máximo ou de mínimo (quando existirem) das funções abaixo:
Calcule e justifique (usando as propriedades de limite):
Se
e
são as raízes da equação
, então
.