Obtenha os pontos de máximo ou de mínimo (quando existirem) das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo ou mínimo da função . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas na matemática, que nos ajuda a descobrir onde a função atinge seus picos (máximos) ou vales (mínimos).

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função . A derivada, , nos mostra a taxa de variação da função. Usando as regras de derivação:
Calculando cada termo:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos (onde podem existir máximos ou mínimos), igualamos a derivada a zero:
Resolvendo para :
Então, temos dois candidatos: e .

Passo 4

Vamos verificar se esses pontos são máximos ou mínimos usando a segunda derivada, . A segunda derivada nos ajuda a determinar a concavidade da função.
Primeiro, achamos :
Agora, avaliamos nos pontos críticos:
  • Para :
Como a segunda derivada é negativa, o ponto é um ponto de máximo.
  • Para :
Como a segunda derivada é positiva, o ponto é um ponto de mínimo.

Resposta

A função tem um ponto de máximo em e um ponto de mínimo em .

Exercícios relacionados

Estudar, no que se refere a máximos e mínimos, as seguintes funções:
(Uem) Sabendo-se que é raiz do polinômio , assinale o que for correto.
Os valores reais de para que a equação admita uma raiz dupla são -2 e 2.
Estudar, no que se refere a máximos e mínimos, as seguintes funções: