Os valores reais de
para que a equação
admita uma raiz dupla são -2 e 2.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação cúbica
e precisamos encontrar os valores reais de
que fazem essa equação ter uma raiz dupla. Isso significa que, para esses valores de
, a equação tem pelo menos duas raízes iguais. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada para encontrar as condições necessárias para uma raiz dupla em polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se uma equação tem uma raiz dupla, isso significa que a função correspondente toca o eixo
nesse ponto e sua derivada também é zero ali. Ou seja, precisamos que tanto a equação original quanto sua derivada igualem a zero para o mesmo valor de
.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada da função
. A derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, para encontrar a raiz dupla, devemos resolver o sistema de equações onde
e
ao mesmo tempo. Então, temos:
Passo 5
Vamos resolver a segunda equação para encontrar os possíveis valores de
:
Passo 6
Agora que temos os valores de
e
, vamos substituir cada um deles na primeira equação para encontrar os correspondentes valores de
.
Para
:
Para
:
Resposta
Os valores reais de
são
e
.
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Obtenha os pontos de máximo ou de mínimo (quando existirem) das funções abaixo:
Estudar, no que se refere a máximos e mínimos, as seguintes funções:
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Calcule e justifique (usando as propriedades de limite):