Os valores reais de para que a equação admita uma raiz dupla são -2 e 2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação cúbica e precisamos encontrar os valores reais de que fazem essa equação ter uma raiz dupla. Isso significa que, para esses valores de , a equação tem pelo menos duas raízes iguais. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada para encontrar as condições necessárias para uma raiz dupla em polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se uma equação tem uma raiz dupla, isso significa que a função correspondente toca o eixo nesse ponto e sua derivada também é zero ali. Ou seja, precisamos que tanto a equação original quanto sua derivada igualem a zero para o mesmo valor de .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada da função . A derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, para encontrar a raiz dupla, devemos resolver o sistema de equações onde e ao mesmo tempo. Então, temos:

Passo 5

Vamos resolver a segunda equação para encontrar os possíveis valores de :

Passo 6

Agora que temos os valores de e , vamos substituir cada um deles na primeira equação para encontrar os correspondentes valores de .
Para :
Para :

Resposta

Os valores reais de são e .

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