Jean está disposto a investir R em um projeto cultural, dividindo o pagamento em três parcelas anuais consecutivas após uma carência de 3 anos. Considerando uma taxa de juros de 10% ao ano e que as parcelas tem valor crescente de R$ 1.000,00 entre entre elas, calcule o valor de cada parcela.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. O Jean quer investir R$ 12.201,10 em um projeto cultural. Ele vai fazer três pagamentos anuais consecutivos, começando três anos depois do investimento inicial. Cada parcela será R$ 1.000,00 maior que a anterior, e a taxa de juros é de 10% ao ano. Nosso objetivo é calcular o valor de cada uma dessas parcelas.
Aqui, vamos utilizar conceitos de Matemática Financeira, especificamente o cálculo de valor presente de parcelas futuras com valores crescentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular o valor presente de cada uma das parcelas que o Jean vai pagar. O valor presente permite trazer os valores futuros para o momento atual, considerando a taxa de juros.
A fórmula para o valor presente (VP) de uma parcela é:
VP = FV(1 + i)^n
Onde:
  • é o valor futuro da parcela.
  • é a taxa de juros (10% ou 0,10).
  • é o número de períodos (anos) até o pagamento.

Passo 3

Vamos chamar a primeira parcela de . Assim, as três parcelas serão:
  • Primeira parcela:
  • Segunda parcela:
  • Terceira parcela:
Como os pagamentos começam três anos após o investimento, o número de períodos para cada parcela será:
  • Primeira parcela: anos
  • Segunda parcela: anos
  • Terceira parcela: anos

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula do valor presente para cada parcela:
VP1 = P(1 + 0,10)^3
VP2 = P + 1000(1 + 0,10)^4
VP3 = P + 2000(1 + 0,10)^5
A soma desses valores presentes deve ser igual ao investimento inicial de R$ 12.201,10:
VP1 + VP2 + VP3 = 12.201,10

Passo 5

Vamos substituir as expressões de P(1,10)^3 + P + 1000(1,10)^4 + P + 2000(1,10)^5 = 12.201,10 , (1,10)^3 = 1,331 e (1,10)^4 = 1,4641 na equação:
(1,10)^5 = 1,61051
Calculando os denominadores:
P1,331 + P + 10001,4641 + P + 20001,61051 = 12.201,10
Substituindo de novo:

Passo 6

Agora, vamos simplificar as frações:
P1,331 approx 0,751 , P
P + 10001,4641 approx 0,683 , P + 683
P + 20001,61051 approx 0,620 , P + 1.240
Somando tudo:
0,751P + 0,683P + 683 + 0,620P + 1.240 = 12.201,10
(0,751 + 0,683 + 0,620)P + (683 + 1.240) = 12.201,10
2,054P + 1.923 = 12.201,10

Passo 7

Isolando 2,054P = 12.201,10 - 1.923 :
2,054P = 10.278,10
P = 10.278,102,054
P approx 5.000

Resposta

Cada parcela será de aproximadamente R$ 5.000,00.

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