Jean está disposto a investir
em um projeto cultural, dividindo o pagamento em três parcelas anuais consecutivas após uma carência de 3 anos. Considerando uma taxa de juros de 10% ao ano e que as parcelas tem valor crescente de R$ 1.000,00 entre entre elas, calcule o valor de cada parcela.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. O Jean quer investir R$ 12.201,10 em um projeto cultural. Ele vai fazer três pagamentos anuais consecutivos, começando três anos depois do investimento inicial. Cada parcela será R$ 1.000,00 maior que a anterior, e a taxa de juros é de 10% ao ano. Nosso objetivo é calcular o valor de cada uma dessas parcelas.
Aqui, vamos utilizar conceitos de Matemática Financeira, especificamente o cálculo de valor presente de parcelas futuras com valores crescentes.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular o valor presente de cada uma das parcelas que o Jean vai pagar. O valor presente permite trazer os valores futuros para o momento atual, considerando a taxa de juros.
A fórmula para o valor presente (VP) de uma parcela é:
Onde:
-
é o valor futuro da parcela. -
é a taxa de juros (10% ou 0,10). -
é o número de períodos (anos) até o pagamento.
Passo 3
Vamos chamar a primeira parcela de
. Assim, as três parcelas serão:
- Primeira parcela:
- Segunda parcela:
- Terceira parcela:
Como os pagamentos começam três anos após o investimento, o número de períodos para cada parcela será:
- Primeira parcela:
anos - Segunda parcela:
anos - Terceira parcela:
anos
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula do valor presente para cada parcela:
A soma desses valores presentes deve ser igual ao investimento inicial de R$ 12.201,10:
Passo 5
Vamos substituir as expressões de
,
e
na equação:
Calculando os denominadores:
Substituindo de novo:
Passo 6
Agora, vamos simplificar as frações:
Somando tudo:
Passo 7
Isolando
:
Resposta
Cada parcela será de aproximadamente R$ 5.000,00.
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