Use a derivação logarítmica para a achar a derivada da função.
c)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente tem uma função definida como:
O conteúdo que vamos usar aqui é derivação logarítmica, que é uma técnica útil para derivar funções que são produtos, quocientes ou potências complicadas. Vamos precisar usar as propriedades dos logaritmos para simplificar a derivação e depois aplicar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a derivação. Isso nos dá:

Passo 3

Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz que o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos, podemos separar os termos:

Passo 4

Vamos simplificar cada termo usando propriedades adicionais dos logaritmos. Sabemos que:
  • (porque )
Então, nossa equação fica:

Passo 5

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então precisamos usar a regra da cadeia quando derivarmos termos que contêm .
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito:

Passo 6

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Nosso objetivo é isolar . Vamos mover os termos que contêm para o lado esquerdo e os demais para o lado direito:

Passo 7

Fatorando no lado esquerdo:
Agora, isolamos :

Passo 8

Podemos simplificar ainda mais, mas normalmente nessa etapa deixamos a derivada expressa dessa forma a menos que haja necessidade de simplificação adicional. Portanto, nossa derivada final é:

Resposta

A derivada da função é:

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Encontre a derivada . Simplique quando possíve 1
b)
Encontre a derivada . Simplique quando possíve 1
f)
Mostre que
Estude cada função com relação à concavidade e determine os pontos de inflexão.