Use a derivação logarítmica para a achar a derivada da função.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente tem uma função definida como:
O conteúdo que vamos usar aqui é derivação logarítmica, que é uma técnica útil para derivar funções que são produtos, quocientes ou potências complicadas. Vamos precisar usar as propriedades dos logaritmos para simplificar a derivação e depois aplicar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a derivação. Isso nos dá:
Passo 3
Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz que o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos, podemos separar os termos:
Passo 4
Vamos simplificar cada termo usando propriedades adicionais dos logaritmos. Sabemos que:
-
-
(porque ) -
Então, nossa equação fica:
Passo 5
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então precisamos usar a regra da cadeia quando derivarmos termos que contêm
.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito:
Passo 6
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Nosso objetivo é isolar
. Vamos mover os termos que contêm
para o lado esquerdo e os demais para o lado direito:
Passo 7
Fatorando
no lado esquerdo:
Agora, isolamos
:
Passo 8
Podemos simplificar ainda mais, mas normalmente nessa etapa deixamos a derivada expressa dessa forma a menos que haja necessidade de simplificação adicional. Portanto, nossa derivada final é:
Resposta
A derivada da função
é:
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Encontre a derivada
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b)
b)
Encontre a derivada
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f)
f)
Mostre que
Estude cada função com relação à concavidade e determine os pontos de inflexão.