Idem, considerando as seguintes funções (conhecidas como funções hiperbólicas):
d.
.
d.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me mandou a definição da função hiperbólica
, que é dada por:
O conteúdo aqui é sobre funções hiperbólicas, que são similares às funções trigonométricas, mas baseadas na hipérbole. Para entender e trabalhar com
, vamos precisar conhecer as definições das funções exponenciais e como elas se combinam para formar as funções hiperbólicas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são as funções exponenciais
e
. Aqui,
é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente igual a 2,71828. As funções
crescem rapidamente conforme
aumenta, e
decrescem rapidamente.
Agora, a função
é definida como o cociente dessas funções exponenciais:
Esse tipo de função é chamada de função hiperbólica cotangente, análoga à função cotangente na trigonometria.
Passo 3
Vamos simplificar
para entender melhor seu comportamento. Dividindo numerador e denominador por
, temos:
Isso mostra que, conforme
aumenta,
tende a zero, então:
E conforme
se aproxima de zero, o denominador tende a zero, fazendo
tender ao infinito.
Passo 4
Agora, vamos ver como calcular a derivada de
. Usando a definição:
Aplicamos a regra do quociente para derivar:
Simplificando o numerador:
Então:
Podemos simplificar ainda mais usando as funções hiperbólicas básicas:
Onde
é a função hiperbólica cossecante.
Resposta
A derivada da função hiperbólica
é:
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Idem, considerando as seguintes opções para uma função g :
c. .
c.
Estude a concavidade da função f. Determine ainda os pontos de inflexão (se houver).
g. .
g.
Idem, considerando as seguintes opções para uma função f:
c. .
c.
Idem, considerando as seguintes opções para uma função g:
a. (2EE-2013.2) .
a. (2EE-2013.2)