Idem, considerando as seguintes funções (conhecidas como funções hiperbólicas):
d. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me mandou a definição da função hiperbólica , que é dada por:
O conteúdo aqui é sobre funções hiperbólicas, que são similares às funções trigonométricas, mas baseadas na hipérbole. Para entender e trabalhar com , vamos precisar conhecer as definições das funções exponenciais e como elas se combinam para formar as funções hiperbólicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são as funções exponenciais e . Aqui, é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente igual a 2,71828. As funções crescem rapidamente conforme aumenta, e decrescem rapidamente.
Agora, a função é definida como o cociente dessas funções exponenciais:
Esse tipo de função é chamada de função hiperbólica cotangente, análoga à função cotangente na trigonometria.

Passo 3

Vamos simplificar para entender melhor seu comportamento. Dividindo numerador e denominador por , temos:
Isso mostra que, conforme aumenta, tende a zero, então:
E conforme se aproxima de zero, o denominador tende a zero, fazendo tender ao infinito.

Passo 4

Agora, vamos ver como calcular a derivada de . Usando a definição:
Aplicamos a regra do quociente para derivar:
Simplificando o numerador:
Então:
Podemos simplificar ainda mais usando as funções hiperbólicas básicas:
Onde é a função hiperbólica cossecante.

Resposta

A derivada da função hiperbólica é:

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Idem, considerando as seguintes opções para uma função g :
c. .
Estude a concavidade da função f. Determine ainda os pontos de inflexão (se houver).
g. .
Idem, considerando as seguintes opções para uma função f:
c. .
Idem, considerando as seguintes opções para uma função g:
a. (2EE-2013.2) .