Estude se os conjuntos de vetores seguintes geram :
Passo 1
Beleza, vamos analisar o problema que temos aqui. Queremos saber se os três vetores fornecidos conseguem “gerar” todo o espaço . Isso significa que, combinando esses vetores de diferentes maneiras, conseguiremos alcançar qualquer ponto nesse espaço de quatro dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de combinação linear e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para gerar todo o espaço , precisamos de pelo menos quatro vetores que sejam linearmente independentes. Já que temos apenas três vetores, já adianta pensar que talvez não consigamos gerar todo o espaço. Mas vamos confirmar isso.
Passo 3
Vamos colocar os vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna:
Agora, vamos verificar o posto dessa matriz, que nos dirá se os vetores são linearmente independentes e quantos vetores precisamos para gerar o espaço.
Passo 4
Para encontrar o posto da matriz, vamos transformá-la em uma forma mais simples usando operações de linha (como trocar linhas, multiplicar por constantes e somar linhas). Nosso objetivo é ver quantas linhas diferentes teremos no final.
Primeiro, subtraímos a primeira coluna da segunda:
Passo 5
Agora, observe que a primeira e a terceira linhas são iguais. Isso significa que uma delas é redundante e podemos descartá-la:
Continuamos simplificando. Subtraímos a primeira linha da terceira:
Passo 6
Agora, temos três linhas não nulas e diferentes. Isso significa que o posto da matriz é 3. Como o espaço tem dimensão 4, precisamos de quatro vetores para gerar todo o espaço.
Resposta
Os três vetores fornecidos não geram , pois o posto da matriz formada por eles é 3, inferior à dimensão do espaço.