Estude se os conjuntos de vetores seguintes geram R^4 :
(l1 0 1 1),(c1 -1 1 1),(c0 -1 0 1)

Passo 1

Beleza, vamos analisar o problema que temos aqui. Queremos saber se os três vetores fornecidos conseguem “gerar” todo o espaço R^4. Isso significa que, combinando esses vetores de diferentes maneiras, conseguiremos alcançar qualquer ponto nesse espaço de quatro dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de combinação linear e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para gerar todo o espaço R^4, precisamos de pelo menos quatro vetores que sejam linearmente independentes. Já que temos apenas três vetores, já adianta pensar que talvez não consigamos gerar todo o espaço. Mas vamos confirmar isso.

Passo 3

Vamos colocar os vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna:
1 & 1 & 0 0 & -1 & -1 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1
Agora, vamos verificar o posto dessa matriz, que nos dirá se os vetores são linearmente independentes e quantos vetores precisamos para gerar o espaço.

Passo 4

Para encontrar o posto da matriz, vamos transformá-la em uma forma mais simples usando operações de linha (como trocar linhas, multiplicar por constantes e somar linhas). Nosso objetivo é ver quantas linhas diferentes teremos no final.
Primeiro, subtraímos a primeira coluna da segunda:
1 & 0 & 0 0 & -1 & -1 1 & 0 & 0 1 & 0 & 1

Passo 5

Agora, observe que a primeira e a terceira linhas são iguais. Isso significa que uma delas é redundante e podemos descartá-la:
1 & 0 & 0 0 & -1 & -1 1 & 0 & 1
Continuamos simplificando. Subtraímos a primeira linha da terceira:
1 & 0 & 0 0 & -1 & -1 0 & 0 & 1

Passo 6

Agora, temos três linhas não nulas e diferentes. Isso significa que o posto da matriz é 3. Como o espaço R^4 tem dimensão 4, precisamos de quatro vetores para gerar todo o espaço.

Resposta

Os três vetores fornecidos não geram R^4, pois o posto da matriz formada por eles é 3, inferior à dimensão do espaço.

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