Estude se os conjuntos de vetores seguintes geram :

Passo 1

Beleza, vamos analisar o problema que temos aqui. Queremos saber se os três vetores fornecidos conseguem “gerar” todo o espaço . Isso significa que, combinando esses vetores de diferentes maneiras, conseguiremos alcançar qualquer ponto nesse espaço de quatro dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de combinação linear e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para gerar todo o espaço , precisamos de pelo menos quatro vetores que sejam linearmente independentes. Já que temos apenas três vetores, já adianta pensar que talvez não consigamos gerar todo o espaço. Mas vamos confirmar isso.

Passo 3

Vamos colocar os vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna:
Agora, vamos verificar o posto dessa matriz, que nos dirá se os vetores são linearmente independentes e quantos vetores precisamos para gerar o espaço.

Passo 4

Para encontrar o posto da matriz, vamos transformá-la em uma forma mais simples usando operações de linha (como trocar linhas, multiplicar por constantes e somar linhas). Nosso objetivo é ver quantas linhas diferentes teremos no final.
Primeiro, subtraímos a primeira coluna da segunda:

Passo 5

Agora, observe que a primeira e a terceira linhas são iguais. Isso significa que uma delas é redundante e podemos descartá-la:
Continuamos simplificando. Subtraímos a primeira linha da terceira:

Passo 6

Agora, temos três linhas não nulas e diferentes. Isso significa que o posto da matriz é 3. Como o espaço tem dimensão 4, precisamos de quatro vetores para gerar todo o espaço.

Resposta

Os três vetores fornecidos não geram , pois o posto da matriz formada por eles é 3, inferior à dimensão do espaço.

Exercícios relacionados

Estude a dependência ou independência linear dos conjuntos seguintes
.
Encontre o determinante da matriz usando qualquer método.
4a)
Estude se os conjuntos seguintes são uma base de :