Estude a dependência ou independência linear dos conjuntos seguintes .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente estudar se um conjunto de quatro vetores está linearmente dependente ou independente. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa dependência linear e como identificar isso usando um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é dependência linear. Um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um dos vetores puder ser escrito como combinação linear dos outros. Se não puder, então são linearmente independentes.
Passo 3
Para verificar isso na prática, colocamos os vetores em uma matriz e vemos se existe uma combinação não trivial (ou seja, diferente de todas as constantes serem zero) que resulta no vetor zero. Se sim, eles são dependentes.
Passo 4
Vamos montar a matriz com os vetores dados:
Passo 5
Agora, aplicamos operações de linha para simplificar a matriz e determinar se há soluções não triviais.
Subtrair a primeira linha da terceira:
Multiplicar a segunda linha por -1:
Subtrair a segunda linha da primeira:
Passo 6
Observamos que temos mais variáveis (4) do que equações (3), o que indica que haverá infinitas soluções. Isso significa que existe uma combinação não trivial dos vetores que resulta no vetor zero.
Passo 7
Portanto, concluímos que o conjunto de vetores é linearmente dependente.