Estude a dependência ou independência linear dos conjuntos seguintes
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente estudar se um conjunto de quatro vetores está linearmente dependente ou independente. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa dependência linear e como identificar isso usando um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é dependência linear. Um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um dos vetores puder ser escrito como combinação linear dos outros. Se não puder, então são linearmente independentes.

Passo 3

Para verificar isso na prática, colocamos os vetores em uma matriz e vemos se existe uma combinação não trivial (ou seja, diferente de todas as constantes serem zero) que resulta no vetor zero. Se sim, eles são dependentes.

Passo 4

Vamos montar a matriz com os vetores dados:

Passo 5

Agora, aplicamos operações de linha para simplificar a matriz e determinar se há soluções não triviais.
  1. Subtrair a primeira linha da terceira:
  1. Multiplicar a segunda linha por -1:
  1. Subtrair a segunda linha da primeira:

Passo 6

Observamos que temos mais variáveis (4) do que equações (3), o que indica que haverá infinitas soluções. Isso significa que existe uma combinação não trivial dos vetores que resulta no vetor zero.

Passo 7

Portanto, concluímos que o conjunto de vetores é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto de vetores é linearmente dependente.

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4a)
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