Seja a função
Faça seu gráfico e determine seu domínio e imagem. Determine também
O que se pode dizer sobre os limites de nos pontos 0 e 1 ?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve uma função definida por partes. O objetivo é fazer o gráfico dessa função, determinar seu domínio e imagem, calcular certos limites e analisar o comportamento nos pontos 0 e 1. Para isso, vamos precisar entender como funções por partes funcionam, além de aplicar conceitos de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio e a imagem de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Já a imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir.

Passo 3

Analisando a função :
Para determinar o domínio, observamos que a função está definida para todos os valores de . Não há restrições como divisões por zero ou raízes de números negativos. Portanto, o domínio é:
íú

Passo 4

Agora, vamos determinar a imagem da função.
  • Para , . Como é negativo, será positivo, indo de 0 ao .
  • Para , , então o valor de é sempre 1.
  • Para , . Aqui, começa em 1 e cresce para o infinito conforme aumenta.
Assim, a imagem é:

Passo 5

Vamos calcular os limites nos pontos 0 e 1.
  1. Limites em :
    • : Quando se aproxima de 0 pela direita (valores positivos), . Então:
    • : Quando se aproxima de 0 pela esquerda (valores negativos), . Como tende a 0, também tende a 0:
  2. Limites em :
    • : Quando se aproxima de 1 pela direita, . Substituindo :
    • : Quando se aproxima de 1 pela esquerda, . Então:

Passo 6

Com os limites calculados, podemos analisar o comportamento da função nos pontos 0 e 1.
  • No ponto 0:
    • Os limites pela direita e pela esquerda são diferentes ( e respectivamente). Isso significa que o limite geral em 0 não existe.
    • No gráfico, isso representa uma descontinuidade do tipo salto.
  • No ponto 1:
    • Ambos os limites à direita e à esquerda são iguais a 1.
    • Isso indica que a função tem limite existente em 1, e se , a função seria contínua nesse ponto.

Resposta

A função tem domínio e imagem . Os limites são:
No ponto 0, os limites laterais são diferentes, indicando uma descontinuidade do tipo salto. No ponto 1, os limites laterais são iguais, sugerindo continuidade da função nesse ponto.

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.
Estude a continuidade da função dada abaixo nos pontos e .