Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa estudar a continuidade da função definida por partes. Isso significa verificar se a função é contínua em todos os valores de , especialmente nos pontos onde a definição muda, que neste caso é em .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se três condições forem atendidas:
A função está definida nesse ponto.
O limite da função quando se aproxima desse ponto existe.
O valor da função no ponto é igual a esse limite.
Passo 3
Vamos aplicar isso no ponto . A função é definida da seguinte forma:
Então, a função está definida em e .
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0 pela esquerda ():
Isso porque, para , é sempre .
Passo 5
Em seguida, calculamos o limite de quando se aproxima de 0 pela direita ():
Aqui, para , é igual a , que tende a 0 quando tende a 0.
Passo 6
Para o limite geral existir, os limites pela esquerda e pela direita precisam ser iguais. No nosso caso:
Como , o limite de quando se aproxima de 0 não existe.
Passo 7
Como o limite não existe, a terceira condição para a continuidade não é satisfeita. Portanto, a função não é contínua em .