Estude a continuidade das funções a seguir.
© f(x) = {-1 se x < 0; 0 se x = 0; x se x > 0}

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa estudar a continuidade da função definida por partes. Isso significa verificar se a função é contínua em todos os valores de , especialmente nos pontos onde a definição muda, que neste caso é em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se três condições forem atendidas:
  1. A função está definida nesse ponto.
  2. O limite da função quando se aproxima desse ponto existe.
  3. O valor da função no ponto é igual a esse limite.

Passo 3

Vamos aplicar isso no ponto . A função é definida da seguinte forma:
Então, a função está definida em e .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
Isso porque, para , é sempre .

Passo 5

Em seguida, calculamos o limite de quando se aproxima de 0 pela direita ( ):
Aqui, para , é igual a , que tende a 0 quando tende a 0.

Passo 6

Para o limite geral existir, os limites pela esquerda e pela direita precisam ser iguais. No nosso caso:
Como , o limite de quando se aproxima de 0 não existe.

Passo 7

Como o limite não existe, a terceira condição para a continuidade não é satisfeita. Portanto, a função não é contínua em .

Resposta

A função não é contínua em .

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