Seja .
© é contínua em ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente quer saber se a função é contínua em . A continuidade é um conceito básico em cálculo que diz que não deve ter “saltos” ou “buracos” no gráfico da função nesse ponto. Para verificar isso, a gente precisa ver se o limite da função quando se aproxima de 0 pela esquerda é igual ao limite quando se aproxima de 0 pela direita e, se ambos forem iguais ao valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor da função em . Olhando a definição da função:
Como se encaixa na primeira parte, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0 pela esquerda, ou seja, quando vem de valores menores que 0:
Isso porque, para , e à medida que chega perto de 0, o valor de também chega a 0.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0 pela direita, ou seja, quando vem de valores maiores que 0:
Aqui, para , e quando está muito próximo de 0, também é muito próximo de 0.

Passo 5

Finalmente, vamos comparar os limites com o valor da função em :
Como todos esses valores são iguais, isso significa que não há salto ou buraco em .

Resposta

Sim, a função é contínua em , porque os limites laterais são iguais ao valor da função nesse ponto.

Exercícios relacionados

Estude a continuidade das funções a seguir.
(b)
Seja .
(b) Determine, se existirem, os limites.
(vi)
Estude a continuidade das funções a seguir.
©
Seja .
(a) Esboce o gráfico de .