Seja .
(a) Esboce o gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa esboçar o gráfico da função , que é definida por partes. Isso faz parte dos estudos de funções na matemática. Para fazer isso, vamos analisar cada parte da função separadamente e depois juntar tudo no gráfico final.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira parte da função: quando . Isso é uma função linear, que gera uma linha reta. No caso, como o coeficiente de é 1, a inclinação da reta é de 45 graus. Além disso, como não tem termo constante, a reta passa pela origem (0,0).

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte: quando . Essa é uma função quadrática, que desenha uma parábola. A parábola abre para cima porque o coeficiente de é positivo. Vamos calcular alguns pontos para ter uma ideia melhor:
  • Quando ,
  • Quando ,
  • Quando ,
Esses pontos vão nos ajudar a desenhar a curva da parábola entre 0 e 2.

Passo 4

Por último, temos a terceira parte: quando . Essa também é uma função linear, mas com coeficiente de igual a -1, o que significa que a reta desce com uma inclinação de -45 graus. Além disso, o intercepto é 8, então a reta cruza o eixo no ponto (0,8). Porém, como essa parte é válida apenas para , vamos começar a reta a partir de :
  • Quando ,

Passo 5

Agora, vamos juntar tudo:
  1. Para : Uma linha reta que passa pela origem e desce para a esquerda.
  2. Para : Uma parábola que começa em (0,0), passa por (1,1) e chega até (2,4).
  3. Para : Uma linha reta que começa em (2,6) e desce para a direita.

Resposta

O gráfico de é composto por três partes:
  • Uma reta crescente para .
  • Uma parábola que sobe de até .
  • Uma reta decrescente para .
Juntando essas partes, temos um gráfico contínuo que muda de comportamento nos pontos e .

Exercícios relacionados

Estude a continuidade das funções a seguir.
©
Seja .
© é contínua em ? Justifique.
Seja .
(b) Determine, se existirem, os limites.
(ii)
Mostre que a função
é contínua no ponto . Esboce o gráfico de .