Beleza, vamos dar uma olhada na questão: precisamos estudar a continuidade da função . Basicamente, vamos analisar onde essa função está contínua, ou seja, onde não tem “quebras” ou pontos de descontinuidade. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como aplicar os conceitos de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se:
A função está definida nesse ponto.
O limite da função quando se aproxima desse ponto existe.
O valor da função no ponto é igual a esse limite.
Vamos começar analisando onde a função está definida. No caso de , o denominador é , então a função não está definida para . Isso já nos diz que pode ter uma descontinuidade aí.
Passo 3
Agora, vamos estudar a expressão . Precisamos entender onde é positivo ou negativo para remover o valor absoluto:
quando ou .
Para , .
Para , .
Para , .
Passo 4
Com isso, podemos reescrever sem o valor absoluto:
Para : .
Para : .
Para : .
Passo 5
Agora vamos analisar a continuidade em cada intervalo:
Para : A função é um polinômio, que é contínuo em todo o seu domínio. Então, não tem problemas aqui.
Para : A função também é um polinômio, logo, é contínua nesse intervalo.
Para : Novamente, é contínua.
Passo 6
Agora, precisamos verificar o comportamento nos pontos críticos: e .
Em :
Limitando por se aproximando de pela esquerda: .
Limitando por se aproximando de pela direita: .
O limite existe e é igual de ambos os lados, e também é . Então, a função é contínua em .
Em :
A função não está definida em , então não podemos ter continuidade aqui.
Resposta
A função é contínua em todo o seu domínio, exceto em .