Estude a continuidade das funções a seguir.
(f)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão: precisamos estudar a continuidade da função . Basicamente, vamos analisar onde essa função está contínua, ou seja, onde não tem “quebras” ou pontos de descontinuidade. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como aplicar os conceitos de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se:
  1. A função está definida nesse ponto.
  2. O limite da função quando se aproxima desse ponto existe.
  3. O valor da função no ponto é igual a esse limite.
Vamos começar analisando onde a função está definida. No caso de , o denominador é , então a função não está definida para . Isso já nos diz que pode ter uma descontinuidade aí.

Passo 3

Agora, vamos estudar a expressão . Precisamos entender onde é positivo ou negativo para remover o valor absoluto:
  • quando ou .
  • Para , .
  • Para , .
  • Para , .

Passo 4

Com isso, podemos reescrever sem o valor absoluto:
  • Para : .
  • Para : .
  • Para : .

Passo 5

Agora vamos analisar a continuidade em cada intervalo:
  • Para : A função é um polinômio, que é contínuo em todo o seu domínio. Então, não tem problemas aqui.
  • Para : A função também é um polinômio, logo, é contínua nesse intervalo.
  • Para : Novamente, é contínua.

Passo 6

Agora, precisamos verificar o comportamento nos pontos críticos: e .
  • Em :
    • Limitando por se aproximando de pela esquerda: .
    • Limitando por se aproximando de pela direita: .
    • O limite existe e é igual de ambos os lados, e também é . Então, a função é contínua em .
  • Em :
    • A função não está definida em , então não podemos ter continuidade aqui.

Resposta

A função é contínua em todo o seu domínio, exceto em .

Exercícios relacionados

Estude a continuidade das funções a seguir.
(a)
Seja .
(b) Determine, se existirem, os limites.
(i)
Calcule o limite justificando cada passagem com as propriedades dos limites que forem usadas:
Calcule o limite justificando cada passagem com as propriedades dos limites que forem usadas: