Estude a continuidade das funções a seguir.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos uma função definida em partes:
O objetivo é estudar a continuidade dessa função. Isso envolve verificar se a função é contínua em todos os pontos do seu domínio, especialmente no ponto onde ela muda de definição, que aqui é . Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar isso usando limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem satisfeitas:
  1. Existência da função em : está definida.
  2. Existência do limite de quando se aproxima de : existe.
  3. Igualdade entre o valor da função e o limite: .
Vamos verificar essas condições para a função dada, especialmente em .

Passo 3

Primeiro, verificamos se está definida. Olhando para a definição da função:
Então, a função está definida em . Isso satisfaz a primeira condição.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 4:
Aqui, substituindo por 4, o denominador se anula, resultando em uma divisão por zero. Mas precisamos analisar de qual lado está se aproximando de 4.
  • Quando se aproxima de 4 pela direita ( ):
  • Quando se aproxima de 4 pela esquerda ( ):
Como os limites laterais são diferentes (um tende ao infinito positivo e o outro ao infinito negativo), o limite geral não existe.

Passo 5

Finalmente, vamos comparar o valor da função em com o limite que encontramos. Temos:
ã
Uma das condições para a continuidade não é satisfeita, já que o limite não existe. Portanto, a função não é contínua em .

Resposta

A função não é contínua em porque o limite não existe, o que impede que todas as condições de continuidade sejam atendidas nesse ponto.

Exercícios relacionados

Seja .
(b) Determine, se existirem, os limites.
(i)
Estude a continuidade das funções a seguir.
(d)
Estude a continuidade das funções a seguir.
(f)
Calcule o limite justificando cada passagem com as propriedades dos limites que forem usadas: