Estude a continuidade das funções a seguir.
(a)
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos uma função definida em partes:
O objetivo é estudar a continuidade dessa função. Isso envolve verificar se a função é contínua em todos os pontos do seu domínio, especialmente no ponto onde ela muda de definição, que aqui é
. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar isso usando limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se três condições forem satisfeitas:
- Existência da função em
: está definida. - Existência do limite de
quando se aproxima de : existe. - Igualdade entre o valor da função e o limite:
.
Vamos verificar essas condições para a função dada, especialmente em
.
Passo 3
Primeiro, verificamos se
está definida. Olhando para a definição da função:
Então, a função está definida em
. Isso satisfaz a primeira condição.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 4:
Aqui, substituindo
por 4, o denominador se anula, resultando em uma divisão por zero. Mas precisamos analisar de qual lado
está se aproximando de 4.
- Quando
se aproxima de 4 pela direita ( ):
- Quando
se aproxima de 4 pela esquerda ( ):
Como os limites laterais são diferentes (um tende ao infinito positivo e o outro ao infinito negativo), o limite geral não existe.
Passo 5
Finalmente, vamos comparar o valor da função em
com o limite que encontramos. Temos:
Uma das condições para a continuidade não é satisfeita, já que o limite não existe. Portanto, a função não é contínua em
.
Resposta
A função
não é contínua em
porque o limite
não existe, o que impede que todas as condições de continuidade sejam atendidas nesse ponto.