Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos uma função definida em partes:
O objetivo é estudar a continuidade dessa função. Isso envolve verificar se a função é contínua em todos os pontos do seu domínio, especialmente no ponto onde ela muda de definição, que aqui é . Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar isso usando limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem satisfeitas:
Existência da função em : está definida.
Existência do limite de quando se aproxima de : existe.
Igualdade entre o valor da função e o limite:.
Vamos verificar essas condições para a função dada, especialmente em .
Passo 3
Primeiro, verificamos se está definida. Olhando para a definição da função:
Então, a função está definida em . Isso satisfaz a primeira condição.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 4:
Aqui, substituindo por 4, o denominador se anula, resultando em uma divisão por zero. Mas precisamos analisar de qual lado está se aproximando de 4.
Quando se aproxima de 4 pela direita ():
Quando se aproxima de 4 pela esquerda ():
Como os limites laterais são diferentes (um tende ao infinito positivo e o outro ao infinito negativo), o limite geral não existe.
Passo 5
Finalmente, vamos comparar o valor da função em com o limite que encontramos. Temos:
Uma das condições para a continuidade não é satisfeita, já que o limite não existe. Portanto, a função não é contínua em .
Resposta
A função não é contínua em porque o limite não existe, o que impede que todas as condições de continuidade sejam atendidas nesse ponto.