Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar se a série
converge, converge absolutamente ou diverge. Isso está dentro do conteúdo de Séries Numéricas, especificamente analisando a convergência ou divergência de séries infinitas. Para resolver, vamos precisar entender termos como limite de uma série, série absolutamente convergente, e aplicar testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar nossa análise. A série é:
Como
é uma constante multiplicativa, ela não afeta a convergência da série. Portanto, podemos focar em:
Passo 3
Vamos simplificar a fração dentro da série para ver como se comporta quando
fica muito grande (isto é, tende ao infinito). Expandindo o numerador e denominador:
Agora, observando os termos de maior grau no numerador e denominador:
Isso nos indica que, para
grande, o termo geral da série se comporta como uma constante
.
Passo 4
Se o termo geral de uma série tende a uma constante diferente de zero, conforme o teste da divergência, a série diverge. O teste da divergência diz que se:
então a série
diverge.
No nosso caso:
Passo 5
Como o limite do termo geral não é zero, concluímos que a série
diverge. E, como a série diverge, não há necessidade de verificar a convergência absoluta.
Resposta
A série
diverge.