Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries (0.75) summ=2^infty m(m+1)(m-1)(2 m+3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar se a série converge, converge absolutamente ou diverge. Isso está dentro do conteúdo de Séries Numéricas, especificamente analisando a convergência ou divergência de séries infinitas. Para resolver, vamos precisar entender termos como limite de uma série, série absolutamente convergente, e aplicar testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar nossa análise. A série é:
0.75 summ=2^infty m(m+1)(m-1)(2m+3)
Como summ=2^infty m(m+1)(m-1)(2m+3) é uma constante multiplicativa, ela não afeta a convergência da série. Portanto, podemos focar em:

Passo 3

Vamos simplificar a fração dentro da série para ver como se comporta quando m(m+1)(m-1)(2m+3) = m^2 + m2m^2 + 3m - 2m - 3 = m^2 + m2m^2 + m - 3 fica muito grande (isto é, tende ao infinito). Expandindo o numerador e denominador:
m^22m^2 = 12
Agora, observando os termos de maior grau no numerador e denominador:
Isso nos indica que, para grande, o termo geral da série se comporta como uma constante .

Passo 4

Se o termo geral de uma série tende a uma constante diferente de zero, conforme o teste da divergência, a série diverge. O teste da divergência diz que se:
limm to infty am neq 0
então a série limm to infty m(m+1)(m-1)(2m+3) = 12 neq 0 diverge.
No nosso caso:

Passo 5

Como o limite do termo geral não é zero, concluímos que a série diverge. E, como a série diverge, não há necessidade de verificar a convergência absoluta.

Resposta

A série diverge.

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