Na função f(x) = x^2 sejam x1 < x2 tais que y0 = f(x1) f(x2), verifique que (x2 - x1) / y0 se torna arbitrariamente pequeno conforme y0 fica arbitrariamente grande. Interprete geometricamente esse fato

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar a função . Temos dois valores de , chamados e , onde e ambos resultam no mesmo valor da função, ou seja, . Nosso objetivo é mostrar que a razão fica cada vez menor quando cresce sem limites. Além disso, precisamos interpretar esse resultado de forma geométrica. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra básica e análise de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Como , temos:
Isso implica que , porque . Mas como , e supondo que ambos são positivos (já que é positivo e grande), será o valor positivo correspondente a negativo.

Passo 3

Agora, queremos encontrar . Sabemos que , então:
Portanto:
Como , podemos expressar em termos de :
Substituindo na expressão anterior:

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento de quando tende para o infinito. Observamos que:
Isso mostra que se aproxima de zero conforme aumenta sem limites.

Passo 5

Geometricamente, isso significa que conforme fica maior, os dois pontos e na parábola ficam cada vez mais próximos na direção horizontal. Em outras palavras, para valores de muito grandes, a distância entre e se torna insignificante comparada ao valor de .

Resposta

A razão tende a zero conforme aumenta sem limites, e geometricamente isso indica que os pontos na parábola ficam cada vez mais próximos horizontalmente à medida que cresce.

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