A inversa de uma função decrescente é sempre uma função decrescente? Justifique! A função
definida abaixo é inversível? Se for, determine sua inversa
Passo 1
Primeiro, vamos entender a pergunta. Queremos saber se a inversa de uma função decrescente também é decrescente. Além disso, temos uma função
definida por partes e precisamos verificar se ela é inversível. Para resolver isso, vamos lembrar o que significa uma função ser decrescente e o que é uma função inversa.
Passo 2
Uma função é decrescente se, conforme
aumenta,
diminui. Agora, a função inversa basicamente troca os papéis de
e
. Ou seja, se
, então
.
Passo 3
Se a função original
é decrescente, isso significa que à medida que
aumenta,
diminui. Ao inverter essa relação, quando
aumenta,
diminui. Portanto, a inversa também será uma função decrescente.
Passo 4
Assim, concluímos que a inversa de uma função decrescente é sempre decrescente.
Passo 5
Agora, vamos analisar a função
definida por:
Para uma função ser inversível, ela precisa ser bijetora, ou seja, injetora (cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio) e sobrejetora (cobre todo o contradomínio).
Passo 6
Primeiro, verificamos se
é injetora. Olhando para a definição, vemos que quando
é racional (
) e
,
. Isso significa que todos esses valores de
diferentes resultam no mesmo
.
Passo 7
Além disso, quando
é irracional (
) e
,
. Cada valor irracional de
resulta em um valor único de
, já que a função quadrática é injetora no intervalo considerado.
Passo 8
No entanto, já que múltiplos valores de
(todos os racionais
) resultam no mesmo
, a função
não é injetora em todo o seu domínio.
Passo 9
Como a função não é injetora, ela não pode ser inversível, pois não atende a condição necessária de ter uma correspondência um-para-um entre domínio e contradomínio.
Resposta
Sim, a inversa de uma função decrescente é sempre decrescente. No entanto, a função
dada não é inversível, pois não é injetora.