A inversa de uma função decrescente é sempre uma função decrescente? Justifique! A função f(x) definida abaixo é inversível? Se for, determine sua inversa
f(x)=c 2, se x in Q, x >= 0 -x^2, se x notin Q, x >= 0

Passo 1

Primeiro, vamos entender a pergunta. Queremos saber se a inversa de uma função decrescente também é decrescente. Além disso, temos uma função definida por partes e precisamos verificar se ela é inversível. Para resolver isso, vamos lembrar o que significa uma função ser decrescente e o que é uma função inversa.

Passo 2

Uma função é decrescente se, conforme aumenta, diminui. Agora, a função inversa basicamente troca os papéis de e . Ou seja, se , então .

Passo 3

Se a função original é decrescente, isso significa que à medida que aumenta, diminui. Ao inverter essa relação, quando aumenta, diminui. Portanto, a inversa também será uma função decrescente.

Passo 4

Assim, concluímos que a inversa de uma função decrescente é sempre decrescente.

Passo 5

Agora, vamos analisar a função f(x)=ll 2, & se x in Q, x >= 0 - x^2, & se x notin Q, x >= 0 definida por:
Para uma função ser inversível, ela precisa ser bijetora, ou seja, injetora (cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio) e sobrejetora (cobre todo o contradomínio).

Passo 6

Primeiro, verificamos se é injetora. Olhando para a definição, vemos que quando é racional ( ) e , . Isso significa que todos esses valores de diferentes resultam no mesmo .

Passo 7

Além disso, quando é irracional ( ) e , . Cada valor irracional de resulta em um valor único de , já que a função quadrática é injetora no intervalo considerado.

Passo 8

No entanto, já que múltiplos valores de (todos os racionais ) resultam no mesmo , a função não é injetora em todo o seu domínio.

Passo 9

Como a função não é injetora, ela não pode ser inversível, pois não atende a condição necessária de ter uma correspondência um-para-um entre domínio e contradomínio.

Resposta

Sim, a inversa de uma função decrescente é sempre decrescente. No entanto, a função dada não é inversível, pois não é injetora.

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