Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita dada por:
O objetivo é determinar se essa série converge, converge absolutamente ou diverge. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries geométricas e analisar os termos envolvidos.
Passo 2
Vamos simplificar a série para facilitar a análise. Observe que podemos reescrever a série da seguinte forma:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, percebemos que a série
é uma série geométrica. Uma série geométrica da forma
converge se, e somente se,
.
Passo 4
Vamos identificar o valor de
na nossa série:
Sabemos que
, então:
Como
, a série geométrica
não converge.
Passo 5
Retornando à nossa série original:
Como a série dentro da soma diverge e estamos apenas multiplicando por um número finito (
), a série inteira também não converge.
Resposta
A série
diverge.