Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries (0.5) sumk=0^infty pi^k3^k+1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita dada por:
0.5 sumk=0^infty pi^k3^k+1
O objetivo é determinar se essa série converge, converge absolutamente ou diverge. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries geométricas e analisar os termos envolvidos.

Passo 2

Vamos simplificar a série para facilitar a análise. Observe que podemos reescrever a série da seguinte forma:
0.5 sumk=0^infty pi^k3^k+1 = 0.5 cdot 13 sumk=0^infty ( pi3 )^k
Isso simplifica para:
0.53 sumk=0^infty ( pi3 )^k = 16 sumk=0^infty ( pi3 )^k

Passo 3

Agora, percebemos que a série é uma série geométrica. Uma série geométrica da forma converge se, e somente se, .

Passo 4

Vamos identificar o valor de r = pi3 na nossa série:
r approx 3.14163 approx 1.0472
Sabemos que , então:
Como , a série geométrica não converge.

Passo 5

Retornando à nossa série original:
16 sumk=0^infty ( pi3 )^k
Como a série dentro da soma diverge e estamos apenas multiplicando por um número finito ( ), a série inteira também não converge.

Resposta

A série diverge.

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