Utilize o Princípio de Indução Finita para demonstrar que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar o Princípio da Indução Matemática para provar que a soma dos primeiros
números pares, ou seja,
, é igual a
. Então, basicamente, vamos mostrar que essa fórmula funciona para qualquer valor de
, usando a indução.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a fórmula funciona para o caso inicial, que geralmente é quando
. Isso é chamado de base da indução.
Vamos calcular a soma para
:
Agora, vamos ver o que a fórmula nos dá para
:
Como ambos os lados são iguais, a base da indução é verdadeira.
Passo 3
Agora, vamos para o passo indutivo. A ideia aqui é assumir que a fórmula funciona para algum número
(essa é a hipótese de indução) e então mostrar que isso implica que a fórmula também funciona para
.
Hipótese de Indução: Assume-se que
Queremos mostrar que:
Vamos começar adicionando
aos dois lados da hipótese de indução:
Simplificando a expressão do lado direito:
Observamos que:
Portanto,
Isso mostra que se a fórmula é verdadeira para
, então também é verdadeira para
.
Resposta
Portanto, pelo Princípio da Indução Matemática, a soma
é válida para todo número natural
.