Utilize o Princípio de Indução Finita para demonstrar que sumi=1^n 2 i=n^2+n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar o Princípio da Indução Matemática para provar que a soma dos primeiros números pares, ou seja, , é igual a . Então, basicamente, vamos mostrar que essa fórmula funciona para qualquer valor de , usando a indução.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a fórmula funciona para o caso inicial, que geralmente é quando sumi=1^1 2i = 2 times 1 = 2 . Isso é chamado de base da indução.
Vamos calcular a soma para n^2 + n = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2 :
Agora, vamos ver o que a fórmula nos dá para :
Como ambos os lados são iguais, a base da indução é verdadeira.

Passo 3

Agora, vamos para o passo indutivo. A ideia aqui é assumir que a fórmula funciona para algum número sumi=1^k 2i = k^2 + k (essa é a hipótese de indução) e então mostrar que isso implica que a fórmula também funciona para sumi=1^k+1 2i = (k+1)^2 + (k+1) .
Hipótese de Indução: Assume-se que
sumi=1^k 2i + 2(k+1) = k^2 + k + 2(k+1)
Queremos mostrar que:
k^2 + k + 2k + 2 = k^2 + 3k + 2
Vamos começar adicionando (k+1)^2 + (k+1) = (k^2 + 2k + 1) + k + 1 = k^2 + 3k + 2 aos dois lados da hipótese de indução:
sumi=1^k+1 2i = (k+1)^2 + (k+1)
Simplificando a expressão do lado direito:
Observamos que:
Portanto,
Isso mostra que se a fórmula é verdadeira para , então também é verdadeira para .

Resposta

Portanto, pelo Princípio da Indução Matemática, a soma é válida para todo número natural .

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