Prove que
. Dica: utilize uma série adequada.
Passo 1
Então, a gente precisa provar que
. Esse problema está relacionado a limites de sequências e exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como as potências funcionam quando a base está próxima de um número menor que 1.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do limite:
. Se dividirmos o numerador e o denominador por
, fica mais fácil de analisar quando
é bem grande.
Passo 3
Dividindo por
, temos:
À medida que
cresce,
fica bem pequena, então o denominador se aproxima de 2.
Passo 4
Assim,
fica aproximadamente igual a
quando
é muito grande. Então, a expressão
está parecendo com
.
Passo 5
Sabemos que
tende a 0 conforme
vai para o infinito, porque estamos elevando um número menor que 1 a potências cada vez maiores, o que faz com que o resultado diminua rapidamente.
Resposta
Portanto,
.