Prove que lim n infty(n2 n+1)^n=0. Dica: utilize uma série adequada.

Passo 1

Então, a gente precisa provar que . Esse problema está relacionado a limites de sequências e exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como as potências funcionam quando a base está próxima de um número menor que 1.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do limite: . Se dividirmos o numerador e o denominador por , fica mais fácil de analisar quando é bem grande.

Passo 3

Dividindo por n2n + 1 = 12 + 1n , temos:
À medida que cresce, fica bem pequena, então o denominador se aproxima de 2.

Passo 4

Assim, fica aproximadamente igual a quando é muito grande. Então, a expressão está parecendo com .

Passo 5

Sabemos que tende a 0 conforme vai para o infinito, porque estamos elevando um número menor que 1 a potências cada vez maiores, o que faz com que o resultado diminua rapidamente.

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados